[DS 小计] 点分树

点分树是一个处理树上距离的优秀 DS。
它可以快速处理关于一些树上距离问题。

引入

我们知道，我们在做点分治的时候，每次找到中心，然后将重心所有的相连的边断开，处理子问题。时间复杂度是 \(O(n\log n)\) 的。

但是有些题目让我们搞强制在线，又要求距离为 \(k\) 的所有和，这时候点分树能起到一个很好的作用。

过程

构造一棵点分树的方法是，把每次点分治得到的根连起来，得到一棵虚树。
这棵树和点分治一样，有一些优秀的性质：

• 树高不超过 \(\log n\)
• 对于点分树上的 \(u,v\) ，若点分树上 \(lca\) 为 \(z\)，原树上的 \(\text{dist}(u,v)=\text{dist}(u,z)+\text{dist}(v,z)\)
  这个证明很简单，因为 \(u,v\) 是在 \(z\) 的这个地方断开的，所以 \(z\) 一定在原树上 \(u\to v\) 之间。要不然它是怎么断开的呢(((

点分树的两个优秀性质就在此。
来看经典问题：给定 \(u,k\) ，求所有满足 \(\text{dist}(u,v)\le k\) 的 \(w_v\) 的和。
怎么做呢？令 \(z\) 为点分树上 \(u,v\) 的 \(lca\) 。
\(\text{dist}(u,v)\le k \Leftrightarrow \text{dist}(u,z)+\text{dist}(v,z)\le k\Leftrightarrow \text{dist}(v,z)\le k-\text{dist}(u,z)\)

所以，我们暴力枚举 \(z\) 即可。
所以我们开一棵动态开点线段树，记录所有 \(\text{dist}(x,z)\) ，表示这个点所有长度的情况。

然后暴力个更新查找。

但是有来自同一子树的两个点，这不能贡献，所以容斥记录一下，再开一棵动态开点线段树，记录 \(x\) 子树内每个点到 \(x\) 点分树父亲的距离的情况即可。

如果你写的很好，空间复杂度是 \(O(n\log n)\) 的。

你知道的，笔者太菜了，实现起来太细节，所以只实现了 \(O(n\log ^2 n)\)