几个小 trick

这是我在这次 LG 月赛中领悟到的。

关于 T4

T4 让我们构造一个东西，在 \(\mod 998244353\) 的情况下。

然后你就很像把 \(0\) 给搞进去，发现不合理。

这时候怎么办？

可以把 \(0\) 变成 \(998244353\) ！这样就行了。
很厉害，给我上了一课。

关于 T5

这启示我们往一类问题思考。

主要问题是这样的：长度为 \(n\) 的序列，一直不下降，可以相等，最后一个元素是 \(m\) ，问方案数。

考虑 dp 很快就能写出转移式。再加上前缀和优化，时间复杂度是平方级别。

可惜，笔者太菜了，后面往组合数学方向思考，没有任何结果。

最后一小时，发现 dp 可以优化成这个式子：

\[f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i,j-1} \]

你可以从两个方向思考：

Trick 1

这个式子其实是路径问题。
转化一下，就是从 \((1,1)\) 到 \((n,m)\) 只能向下、向右走，到终点方案数。
我们把路径行走记下来，向右就是 \(1\) ,向下就是 \(0\) 。
然后 \(1\) ， \(0\) 数量固定。
所以捏，这相当于，把 \(n\) 个 \(1\) ， \(m\) 个 \(0\) 排列后不同的排列数。
经典问题，式子出来：\(C_{n+m}^n=C_{n+m}^m\)

Trick 2

这就是一个杨辉三角，我们把它转 \(45°\)。
然后递推式不就出来了吗。
根据组合数的理解，你能很快求出某列、某行，甚至某一斜对角线的值。
真是公公又式式！

后话

笔者太菜，最终也是冲刺了一波才到了 rk47.