[普及+] 模板口胡

差分约束系统

省流：给出 \(n\) 个数， \(m\) 个不等式，每个形如 \(x_a-x_b\le w\) ，求通解。
转化一下，\(x_a\le x_b+w\)
这不就是图论点转移吗，连一条 \(x_b\to x_a\) 权值为 \(w\) 的边，最后要求通解即求当前点集权值满足所有边。

不妨这样想，确定一个点，再更新其它点。
这不就是最短路吗。
但是有一个问题，就是可能会选到一个出度为 \(0\) 的点。这样虽然说也能造出合法解，但是不太好。

不妨钦定原点 \(0\) ，并向每个点连边 \(0\to i\) 一条权值为 \(0\) 的边。意思就是 \(x_i\le 0\)。
这样从 \(0\) 开始跑单源最短路即可。
出现负环说明无解，负环的意思就是一个数要小于自己，即 \(x\le x-3\) 明显无解。

因为存在负数边，通常使用 BF 求解。
全正数也可以使用 dij 。

Janson 全源最短路

省流：有负边权，求有向图全源最短路。

因为 \(n\le 3000\) 所以 Floyd 首先排除。
我们想只要用 dij 就可以做到 \(n^2\log n\)

所以这就是一个怎么处理负环。
直接加一个数显然不行。
所以我们定一个原点 \(0\) ,向每个点连一条边权为 \(0\) 的边，算出 \(0\) 到每个点的最短路 \(h_x\) 。
然后给每条 \(u\to v\) 的边加上 \(h_u-h_v\)。
因为 \(h_v\le h_u +w\) 所以 \(h_u-h_v+w\ge 0\)
现在所有边权非负了。
我们考虑一条 \(u\to v\) 的路径，就是 \(w_u+w_{v1}+w_{v2}..+h_u-h_v\) 中间的都被查分掉了、
直接跑 dij 即可。
所以使用 BF 处理和 dij 跑。
感觉号飞舞啊，没什么用。

二维凸包

很简单，一些点，找二维凸包。
And 算法：
先按照 \(x\) 为第一关键字排序，再按 \(y\) 为第二关键字排序。
然后从左往右找下凸包，遇见上凸的就出栈，和斜率优化差不多。
然后再从右往左找上凸包，同理。
随便写写就完事了。
这个还没有下面的难。
注意：

• 注意栈开成两倍空间

欧拉路径

省流：有向联通图的一笔画问题。
第一步：判断是否有解。
需要满足以下条件：

• 所有点出入度都相同（欧拉回路）或只有一点入度比出度多 \(1\) (终点) 且只有一点出度比入度多 \(1\) (起点)
• 图联通

通过简单处理我们可以得到起点。
怎么找一条欧拉路径呢？

首先从起点开始 dfs。
一种显然的思路就是只走一个点，最终就能走完这个图。
这其实是错的。
举个例子：

4 4
1 2
2 3
3 1
3 3

dfs 路线是 \(1\to 2\to 3 \to 1\)
哎？ \(3\to 3\) 的自环没走啊！
这是因为，在不是欧拉回路的情况下，对于所有点，会有一条路径是走向终点的，也就是走不回来，而且其它路径随便走，总能走回当前点。

所以，我们的思路是：对于每个点，不断枚举出边。
枚举出边只会执行至多两次，即是否存在终点路径。

因此，我们的想法是先走非终点路径，再走终点路径。
但是这样不好搞，不好判断。

我们这样思考：
如果已经处理完这个点往后走的所有路径，那到这个点怎么办？
很明显，直接往后加上即可。
考虑一个点加上去的条件，即遍历完毕所有路径，如果还有出边，则这个点不会被记录。
那么，如果不存在出边，那么我们就到终点路径了。
可以发现，终点路径总是最后一个走的。所以也是最先被记录了。、
对于非终点路径节点，我们可以根据题目要求任意选择去走。
所以最后倒序输出遍历节点即可。

通俗的说，就是一直走，走到死胡同就记录一下，如果不是死胡同就记录下走过哪些点。
发现死胡同总是最先记录的，倒序就是遍历顺序。

Nim游戏

感觉最难 [普及+] 模板就是这个了。
这个摆了先，后面开个博弈论专题搞一搞。