SAM 略解

前言

只要你愿意啃，没有算法是学不来的
——教练

说实话，学完 SA 后有时间都会去看 SAM ，但就是怀着信息去，带着一脑子问号回来

根据教练の哲理，一定要把 SAM 啃下来

引入

后缀自动机能解决很多问题。

举个例子

• 在一个字符串中搜索另一个字符串所有出现位置
• 得到有多少本质不同的字串

当然，这些 SA 也能轻易完成
但是 SAM 能做到很多 SA 做不到的 它最大的优势是在线的
而且它有十分优秀的时间复杂度 $O(n)$

SAM 的定义

• SAM 是一张有向无环图 只有一个原点 $t_0$ 称为初始状态 其它所有点都可以通过 $t_0$ 到达
• 每条边都是一个转移 每个节点都是一个状态
• 每个状态的转移都是不同的
• 存在多个终止状态，满足从原点 $t_0$ 出发，到达终止状态立得到的字符串的必是原字符串的后缀 并且满足任何 $S$ 的后缀都可以由一条路径表示
• 满足上述所有条件前提下，SAM 满足节点数最少

SAM 的基本性质

SAM 保证：

• 字符串中的任意一个字串都可以由一条路径表示
• SAM 任意一个节点表示的字符串都是原串 $S$ 的字串

一些例子

可以前往 OI-wiki 查看

一些重要的概念

endpos

定义：我们记 $\text{endpos(p)}$ 表示字符串 $p$ 在原串 $s$ 中所有出现结束位置的集合。
举个栗子，对于 $\text{s=ababa}$ 则 $\text{endpos(ab)}=(2,4)$ ，$\text{endpos(a)}=(1,3,5)$

对于两个字串 $a$ , $b$ ,若满足 $\text{endpos(a)}=\text{endpos(b)}$ 我们认为 $a,b$ 是一个等价类。
因此，$S$ 里面所有的字串可以分成若干个等价类。
而我们 SAM 中的节点，就是所有等价类带边的点

一些定理/引理

• $1.1$ 若字符串 $a,b$ 满足 $\text{endpos(a)}\subseteq\text{endpos(b)}\Leftrightarrow$ $b$ 为 $a$ 的后缀

这个感性证明是最好的，自行理解就行

• $1.2$ 每个等价类包含的字符串长度一定都是在区间 $[x,y]$ 之间的

也是推荐感性理解，长度 $x$ 以下的是当前集合的超集，$y$ 以上的是当前集合的子集
这个区间内一定都是连续的数字，因为字串是连续的
不理解可以看看例子

• $1.3$
  对于任意两个子串 $a,b\space |a|\le |b|$
  如果 $a$ 为 $b$ 的后缀，那么它们满足 $1.1$
  否则满足 $endpos(a)\cup endpos(b)=\varnothing$

根据 $1.1$ 可以推证

后缀链接 link

先看张图
$S=abcbc$

红色的边就是后缀链接

其实用最直白的话来讲 后缀链接就是当前等价类最短后缀的下一个后缀 就是当前等价类的超集
比如说 $\text{abcbc}$ 它的最短后缀是 $\text{abc}$ 那么它连接到的就是 $\text{bc}$ 因为 $\text{endpos(bc)}=\{2,4\}$

还是很好理解的 手画一下其它节点都满足这个性质

• $2.1$ 所有 $\text{link}$ 构成一棵节点为 $t_0$ 的树

考虑对于任意节点往后缀链接移动，能满足当前等价类的长度不断变短，最终总能到达 $t_0$
根据 $1.3$ 可以证明不存在环
所有点联通不存在环的无向图就是树

对于这棵树 我们称为 $\text{parent tree}$

• $2.2$ 对于任意状态，记它的长度区间为 $[l,r]$ 那么对于任意节点 $x$ 满足 $l_x$ = $r_{fa_x}+1$

• $2.3$ 对于任意状态 $v_0$ 向着 $\text{link}$ 遍历到 $t_0$ 经过所有状态长度区间的交集为 $\{0\to r[v_0]\}$

即从任意状态往 $t_0$ 走，可以完成遍历完它的所有后缀

我们 SAM 的状态点与 parent tree 的状态是完全相同的

对于一整个字符串 $s$ 它只会在 parent tree 中分裂 $|s|$ 次 所以可以保证节点在最坏条件下是 $2n-1$ 的

知道这些后，我们可以开始构造 SAM 了

SAM 的构造

SAM 是一个不停往后加字符的在线算法

SAM 是和 parent tree 同时构造的

构造流程 (PS:一定要在纸上边画图边写)：
现在我们要加入字符 $c$

• $1$ 定义 $\text{last}$ 表示添加字符 $c$ 之前的节点

• $2$ 创建一个新节点 $\text{cur}$ 表示当前节点 令 $\text{len(cur)=len(last)+1}$
  这一句话的意思是当前等价类的最长长度是上一个的 $+1$ 非常显而易见的性质

• $3$ 从 $\text{last}$ 开始遍历 $\text{link}$ 并向当前节点加一条 $c$ 的出边
  我们知道 一直跳 $\text{link}$ 可以遍历完所有后缀 这个过程相当于向每个后缀加一条出边

• $4$ 如果跳到了原点 $p$ 令 $\text{link(cur)}=0$ 转 $8$
  为什么呀？为什么？
  一个点跳到原点都没有 $c$ 的出边 意味着遍历了当前所有后缀的前缀都没有 $c$ 所以 $c$ 是第一个出现的字符 直接把 $link$ 设为原点即可

• $5$ 如果当前节点 $p$ 有一条出边 $c$ 指向 $q$，我们开始分类讨论

• $6$ 如果 $\text {len(q)=len(p)+1}$ 直接把 $\text{link(cur)=q}$ 即可 转 8
  为什么呀？为什么？
  首先 我们先说明 ${len(q)}\ge {len(p)+1}$ 因为 $q$ 是 $p$ 转移来的 这是非常显然的
  然后 相等是一个特殊情况
  我们考虑为什么要给等价类连边
  不就是在当前字符串满足后缀长度最小时 前面有相同部分出现吗
  那么 把后缀同时去掉一个 $c$ 求得的也是相同的
  也就是说 $\text{len(p)}+1$ 得到的就是 $\text{link(cur)}$ 的最长开始重复部分 也就是下一个等价类 $q$ 刚好满足 直接连接即可 转 $8$

• $7$ 现在情况有些复杂
  因为我们通过 $6$ 的分析 是可以直接 $link$ 的 但是不等却不行
  为什么呢 因为这样跳上去的节点存在部分不是 $cur$ 的后缀
  这个时候我们直接把这个节点分裂成两个 $q$ 和 $copy$ 令 $\text{len(copy)=len(p)+1}$
  然后把 $q$ 的 $\text{link}$ 设为 $copy$
  再把 $cur$ 的 $\text{link}$ 设为 $copy$ 即可
  这样点之间的我们就处理完毕了 考虑边之间的关系
  注意开始 $copy$ 和 $q$ 的出边也是相同的 思考一下这是对的
  接着就是入边
  我们发现入边情况就多了 要分成连向 $copy$ 和 $q$ 两种情况分类讨论
  当然一开始还是所有边都连向 $q$ 现在考虑拆边
  我们考虑为什么有边要连向 $copy$ 因为它比 $q$ 长度小
  也就是说 只要从 $p$ 继续往上跳 跳到有出边 $c$ 而且长度再 $copy$ 区间内 直接不连 $q$ 连 $copy$ 即可
  否则如果连的不是 $q$ ，而是 $q$ 的祖先 说明这些是新的等价类 跳出循环即可
  根据往后后缀长度或越来越短 我们保证肯定每个后缀都会有 $c$ 的出边
  所以一直操作即可 转 $8$

• $8$ 令 $last=cur$ 转 $1$

这样就完成了

时间复杂度

是线性的 我们认为是 $O(n\log \sum)$ 的 $\sum$ 是字符集的大小
根据代码 我们知道 SAM 只有 $2n-1$ 个节点 $3n-4$ 条边

构建结束标记

我们只需要在当前最后状态往上跳 $link$ 就能遍历完最大后缀
然后结束标记都是在最后在最后结束的 直接打标记即可