学习笔记：莫队

OK 啊，这篇重构了。

0 概念

什么是莫队
可以先去看看分块 这样就很好理解

先丢出一个问题：

• 给出 $m$ 个区间 $l,r$ 求区间众数

这就是蒲公英 在线用分块可以做到 $O(n\sqrt n)$ 的复杂度
现在我们思考一下
线段树可以做什么？满足区间合并的问题
树状数组可以做什么？满足区间相减的问题
如果这两都做不了？
这下我们的乱搞神器莫队就出来了
它有 $O(n\sqrt n)$ 的优秀时间复杂度

1 普通莫队

有很多问题 每个重复求很麻烦 不妨按照一个顺序来做
根据分块的想法，分块来做每个问题。
莫队思路：首先，按 $l$ 左端点所处在的块排序 同一块内的按右端点排序。
然后，直接按照双指针的方法爆搜问题。
这样不会 T 飞吗？
我们来分析一下时间复杂度。
不妨令块长为 $S$ 。
对于跨过块与块之间的 $l$ 端点移动，明显，它的复杂度上界为 $O(n)$ 。
在同一块内，右端点是一直往后的，时间复杂度为 $O(n)$ ，加上总共 $\frac{n}{S}$ 块，时间复杂度 $O(\frac{n^2}{S})$
在同一块内，左端点是会乱走的，假设每次左端点乱走都跑满，那么就会遍历这块一遍。所以时间复杂度是 $O(n\times S)$ 。
综合一下，根据小学学的基本不等式，我们发现，在 $S=\sqrt n$ 的情况下能跑出最好的期望复杂度：$O(n^{1.5})$

然后因为因为它能暴力处理出每个点的贡献，所以是非常强大的离线工具。

2 莫队上树

直接将树转成 DFS 序乱搞即可。
如果是子树内的点， dfn 序即可搞定。
如果是一条链上的，那么我们使用 dfs 序。
什么呢？

dfs 序即每次在入点和出点时记录下这个点。
dfs 序有很多。
这棵树的 dfs 序其中之一为：

$$1,2,4,4,5,5,2,3,6,7,7,8,8,6,3,1$$

我们记第一次出现 $x$ 时为 $st_x$ ，第二次出现为 $ed_x$。
我们发现，一条路径可以通过讨论实现：

• 如果 $u\to v$ 中，$u$ 为 $v$ 的祖先，那么只需记录下 $st_v\to st_u$ 中只出现一次的数即可。
  证明很简单，从 $st_x$ 开始就是从已 $st_x$ 为根时遍历这棵子树，如果不是路径上的点，要么没有经过，要么经过两次。
• 否则，从 $ed_u$ 到 $st_v$ 中，记录只出现一次的点 再加上 lca 即可。
  证明也很简单，从 $ed_u$ 开始往后回溯，从 $u\to lca$ 的点一定记录了一次，然后再遍历子树 $v$，这样不会遍历到 $lca$ ，记得加上。

这样这就是一个普通的莫队问题了。

3 莫队带修

是这样的，莫队根本不能修改。
关于修改，它像标记永久化 seg 一样 ，只能单点修改。
有些时候也可以差分，但比较少，差分后不好查询。但是异或是个例外。
然后跑三维莫队就行了，第一位修改时间，后两维表示区间。
排序优先顺序要和查询顺序相同。
这样乱搞就好了。
理论上，是取块长为 $\frac{2^\frac{1}{3}n^{\frac{2}{3}}t^\frac{1}{3}}{m^\frac{1}{3}}$ 最好，时间复杂度 $O(n^\frac{5}{3})$，但是大家都说块长取 $n^\frac{2}{3}$ 方便。

4 回滚莫队

你知道的，有些时候，增加一个数可以很容易维护，但是删一个很难维护。
举个例子，求 $\max_{l}^r a_i$ ，增加一个数直接判断贡献即可。
可是删除一个数，我们发现很麻烦，用一些数据结构会增加一个 $\log$ 这是我们不想看到的。

于是 不删除莫队——回滚莫队出现了。
我们以贡献的角度考虑回滚莫队。
回滚莫队分为几个步骤：

• 先和莫队相同的方法排序
• 如果当前询问属于同一个块(设块长为 $S$)内，直接暴力，与分块思想相同。
• 如果不属于同一块，不妨假定当前扫到块 $x$ 。我们先设置左端点为 $R_x+1$（也就是什么都没有）。
• 然后暴力拓展右端点，根据右端点是排好序的，这一步有保障。
• 对于左端点，每次询问的时候再拓展。然后拆成三部分贡献来分别计算。
• 最后，处理完左端点同一块内的贡献，暴力清空桶。

我们来分析一下时间复杂度。
首先，每次同块暴力时间复杂度为 $O(S)$
然后，对于每一块，右端点只会单独往右，时间复杂度为 $O(\frac{n^2}{S})$
对于同一块内，每次左端点最多移动 $O(S)$ 时间，所以时间复杂度为 $O(mS)$
之后，左端点向左移动，时间复杂度 $O(n)$ 。

根据小学学的知识，假定 $m$ 和 $n$ 同阶，明显，最优块长为 $\sqrt n$ 时间复杂度为 $O(n^{1.5})$ 。
这样，我们不删莫队就搞定了！

那么不增加呢？
修改一下右端点排序，使右端点一直删，左端点为开头，也删除即可。

理论简单！

5 莫队 + bitset

有些时候我们查询一堆数加/减 能不能搞出来一个 $x$ 。
我们把存在的数用 $01$ 串表示，即存在一个位置 $p$ ，使得 $A_p=A_{p-x}=1$ 。
这时候用可以使用 bitset 优化。

每次查询时间复杂度 $O(\frac{n}{128})$
所以总的时间复杂度 $O(n\sqrt n+\frac{n^2}{128})$

诡异的复杂度 但是可以接受 对于某些题目

6 二次离线莫队

会填的