复习：矩阵快速幂

前言

emmm太久了忘了许多 写笔记来复习一下

概念

矩阵乘法

什么是矩阵乘法？

给你两个矩阵\(a,b\)

则令\(c=a*b\) 有

\(c_n=a_n\),\(c_m=b_m\)

\[\sum\limits_{i=1}^{c_n}\sum\limits_{j=1}^{c_m} c_{i,j}\sum\limits_{k=1}^{a_m}a_{i,k}*b_{k,j} \]

两个矩阵做乘法的前提：\(a_m=b_n\)

找不到图片了 网上自取

抽象于行乘列即可

Code

node init(int n,int m)
{
	node c;
	c.n=n;
	c.m=m;
	for(int i=1;i<=c.n;i++)
		for(int j=1;j<=c.m;j++)
			c.r[i][j]=0;
	return c;
}
node operator *(node a,node b)
{
	node c=init(a.n,b.m);
	for(int i=1;i<=c.n;i++)
		for(int j=1;j<=c.m;j++)
			for(int k=1;k<=a.m;k++)
				c.r[i][j]=(c.r[i][j]+a.r[i][k]*b.r[k][j])%mod;
	return c;
}

初始矩阵

node clear(int n)
{
	node c=init(n,n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		c.r[i][i]=1;
	return c;
}

初始矩阵满足 \(P\) 满足任意矩阵 \(a\) 使得\(P*a=a\)

注意初始\(P_n=P_m=a_m\)

性质

定义矩阵\(a,b,c\)

• 矩阵结合律：\(a*b*c=a*(b*c)\)
• 矩阵拆：\((a*b)^x=a^xb^x\)

注意 矩阵不存在交换律

矩阵快速幂

因为矩阵满足结合律 因此可以直接快速幂优化时间

node Qpow(node a,ll x)
{
	node sum=clear(a.m);
	while(x>0)
	{
		if(x&1) sum=sum*a;
		a=a*a;
		x/=2;
	}
	return sum;
}

矩阵优化递推 P1939

令初始\(A\)数组为\((1,1,1)\) 把其看成\(a_{i-1},a_{i-2},a_{i-3}\) 思考如何推成\(a_{i},a_{i-1},a_{i-2}\)

发现构造矩阵：

\[b=\begin{bmatrix} 1&1&0\\0&0&1\\1&0&0 \end{bmatrix} \]

则\(a*b\)即可转移一位

答案就是\(a*b^n\)

矩阵优化快速幂即可

int main()
{
	a.n=1,a.m=3;
	a.r[1][1]=1,a.r[1][2]=1,a.r[1][3]=1;
	b.n=b.m=3;
	b.r[1][1]=1,b.r[1][2]=1,b.r[1][3]=0;
	b.r[2][1]=0,b.r[2][2]=0,b.r[2][3]=1;
	b.r[3][1]=1,b.r[3][2]=0,b.r[3][3]=0;
	scanf("%d",&g);
	while(g--)
	{
		scanf("%d",&n);
		printf("%lld\n",(a*Qpow(b,n-3)).r[1][1]);
	}
	return 0;
}

矩阵优化 DP P4838

定义\(f_{i,0}\)表示后缀为 \(\texttt{a}\) 的方案数

定义\(f_{i,1}\)表示后缀为 \(\texttt{aa}\) 的方案数

定义\(f_{i,2}\)表示后缀为 \(\texttt{b}\) 的方案数

容易得到简单 dp

	for(int i=3;i<=n;i++)
	f[i][0]=f[i-1][2],
	f[i][1]=f[i-1][0],
	f[i][2]=f[i-1][0]+f[i-1][1]+f[i-1][2];

容易构造简单矩阵

\[\begin{bmatrix}0&1&1\\0&0&1\\1&0&1 \end{bmatrix} \]

套上矩阵快速幂即可快速求解

Code

int main()
{
	a.n=1,a.m=3;
	a.r[1][1]=1,a.r[1][2]=1,a.r[1][3]=2;
	b.n=b.m=3;
	b.r[1][1]=0,b.r[1][2]=1,b.r[1][3]=1;
	b.r[2][1]=0,b.r[2][2]=0,b.r[2][3]=1;
	b.r[3][1]=1,b.r[3][2]=0,b.r[3][3]=1;

	scanf("%d",&g);
	while(g--)
	{
		scanf("%d",&n);
		if(n==1) printf("2\n");
		else 
		{
			node ans=a*Qpow(b,n-2);
			printf("%lld\n",(ans.r[1][1]+ans.r[1][2]+ans.r[1][3])%mod);
		}
	}
	return 0;
}