【生成树计数】专题总结
在CTSC和APIO上好像经常听到生成树计数这东西
于是就去看了下论文
蒟蒻表示看不懂证n明orz 反正懂用就行了。。
生成树计数
生成树计数就是给出一种n个点的无向图G 求这n个点的生成树个数
G的度数矩阵d[i][j] 当i≠j时d[i][j]=0 否则等于i点的度数
G的邻接矩阵a[i][j] a[i][j]=i、j间的边的个数（能有重边）
Kirchhoff矩阵 c[i][j]=d[i][j]-a[i][j]
Kirchhoff矩阵的n-1阶主子式的行列式的值的绝对值即为生成树的个数
n-1阶主子式即为把原矩阵去掉任意第i行和第i列得到的矩阵
行列式的值的计算
行列式的算法一般是用高斯消元计算出上三角矩阵 再把主对角线的值累成起来
但是高斯消元可能会导致出现小数
于是我们用一种类似求gcd的方法 辗转消除即可
这里要注意 如果交换矩阵的某两行 行列式的值要*-1 （虽然对生成树计数的计算没影响- -）
最小生成树计数代码
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <algorithm> 4 using namespace std; 5 const int N=101,M=1001,mo=31011; 6 struct info{ 7 int x,y,lon; 8 info(const int a=0,const int b=0,const int c=0): 9 x(a),y(b),lon(c){} 10 }sl[M]; 11 struct inli{ 12 int next,data; 13 inli(const int a=0,const int b=0): 14 next(a),data(b){} 15 }line[M*2]; 16 int n,m,nl,num,change[N],save[N],bo[N],link[N][N],son[N],jz[N][N],fat[N],d[N],ans=1; 17 inline bool cmp(info x,info y){ return x.lon<y.lon; } 18 void clean(){ 19 memset(jz,0,sizeof(jz)); 20 memset(bo,0,sizeof(bo)); 21 memset(son,0,sizeof(son)); 22 nl=0; 23 } 24 int getfat(int t){ return fat[t] ? fat[t]=getfat(fat[t]) : t; } 25 void search(int t){ 26 bo[t]=2,save[++save[0]]=t; 27 for (int i=son[t];i;i=line[i].next) 28 if (bo[line[i].data]==1) search(line[i].data); 29 } 30 void swap(int x,int y){ 31 for (int i=1;i<=num;i++){ int t=jz[x][i]; jz[x][i]=jz[y][i],jz[y][i]=t; } 32 } 33 void gcd(int x,int y,int t){ 34 while (jz[y][t]){ 35 if (abs(jz[x][t])>abs(jz[y][t])) swap(x,y); 36 //abs 37 int xx=jz[y][t]/jz[x][t]; 38 for (int j=t;j<=num;j++) jz[y][j]=(jz[y][j]-jz[x][j]*xx%mo)%mo; 39 //need %mo 40 } 41 } 42 int getans(){ 43 int res=1; 44 num=save[0]-1; 45 for (int i=1;i<=num;i++){ 46 if (!jz[i][i]) 47 for (int j=i+1;j<=num;j++) 48 if (jz[j][i]){ 49 swap(i,j); 50 break; 51 } 52 for (int j=i+1;j<=num;j++) 53 if (jz[j][i]) gcd(i,j,i); 54 } 55 for (int i=1;i<=num;i++) res=res*jz[i][i]%mo; 56 return res<0 ? -res : res; 57 } 58 void makeans(){ 59 for (int i=1;i<=n;i++) 60 if (bo[i]==1){ 61 save[0]=0; 62 search(i); 63 for (int i=1;i<=save[0];i++) 64 for (int j=1;j<=save[0];j++) jz[i][j]=0; 65 change[0]=0; 66 for (int i=1;i<=save[0];i++) change[save[i]]=++change[0]; 67 for (int j=1;j<=save[0];j++){ 68 int now=save[j]; 69 for (int k=son[now];k;k=line[k].next){ 70 ++jz[change[now]][change[now]]; 71 --jz[change[now]][change[line[k].data]]; 72 } 73 } 74 ans=ans*getans()%mo; 75 for (int j=2;j<=save[0];j++) fat[save[j]]=save[1]; 76 } 77 } 78 void work(){ 79 sort(sl+1,sl+m+1,cmp); 80 for (int i=1;i<=m;){ 81 int save=sl[i].lon; 82 clean(); 83 for (;i<=m && sl[i].lon==save;++i){ 84 int x=getfat(sl[i].x),y=getfat(sl[i].y); 85 if (x==y) continue; 86 bo[x]=bo[y]=1; 87 line[++nl]=inli(son[x],y),son[x]=nl; 88 line[++nl]=inli(son[y],x),son[y]=nl; 89 } 90 makeans(); 91 } 92 } 93 int main(){ 94 freopen("bz1016.in","r",stdin); 95 freopen("bz1016.out","w",stdout); 96 scanf("%d%d",&n,&m); 97 for (int x,y,z,i=1;i<=m;i++){ 98 scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); 99 sl[i]=info(x,y,z); 100 } 101 work(); 102 memset(bo,0,sizeof(bo)); 103 int add=0; 104 for (int i=1;i<=n;i++) 105 if (!bo[getfat(i)]) add+=bo[getfat(i)]=1; 106 if (add>1) puts("0"); 107 else printf("%d",ans); 108 fclose(stdin); 109 fclose(stdout); 110 }
