Miller_Rabbin算法判断大素数，Pollard_rho算法进行质因素分解
Miller-rabin算法是一个用来快速判断一个正整数是否为素数的算法。它利用了费马小定理，即：如果p是质数，且a，p互质，那么a^(p-1) mod p恒等于1。也就是对于所有小于p的正整数a来说都应该复合a^(p-1) mod p恒等于1。那么根据逆否命题，对于一个p，我们只要举出一个a（a<p）不符合这个恒等式，则可判定p不是素数。Miller-rabin算法就是多次用不同的a来尝试p是否为素数。
但是每次尝试过程中还做了一个优化操作，以提高用少量的a检测出p不是素数的概率。这个优化叫做二次探测。它是根据一个定理：如果p是一个素数，那么对于x(0<x<p)，若x^2 mod p 等于1，则x=1或p-1。逆否命题：如果对于x(0<x<p)，若x^2 mod p 不等于1，则p不是素数。根据这个定理，我们要计算a^(p-1) mod p是否等于1时，可以这样计算，设p-1=(2^t) * k。我们从a^k开始，不断将其平方直到得到a^(p-1)，一旦发现某次平方后mod p等于1了，那么说明符合了二次探测定理的逆否命题使用条件，立即检查x是否等于1或p-1，如果不是则可直接判定p为合数。
pollard-rho算法是一个用来快速对整数进行质因数分解的算法，需要与Miller-rabin共同使用。求n的质因子的基本过程是，先判断n是否为素数，如果不是则按照一个伪随机数生成过程来生成随机数序列，对于每个生成的随机数判断与n是否互质，如果互质则尝试下一个随机数。如果不互质则将其公因子记作p，递归求解p和n/p的因子。如果n是素数则直接返回n为其素因子。
Pollard rho算法的原理就是通过某种方法得到两个整数a和b，而待分解的大整数为n，计算p=gcd(a-b,n)，直到p不为1，或者a，b出现循环为止。然后再判断p是否为n，如果p=n成立，那么返回n是一个质数，否则返回p是n的一个因子，那么我们又可以递归的计算Pollard(p)和Pollard(n/p)，这样，我们就可以求出n的所有质因子。
具体操作中，我们通常使用函数x2=x1*x1+c来计算逐步迭代计算a和b的值，实践中，通常取c为1，即b=a*a+1，在下一次计算中，将b的值赋给a，再次使用上式来计算新的b的值，当a，b出现循环时，即可退出进行判断。
在实际计算中，a和b的值最终肯定一出现一个循环，而将这些值用光滑的曲线连接起来的话，可以近似的看成是一个ρ型的。
对于Pollard rho，它可以在O(sqrt(p))的时间复杂度内找到n的一个小因子p，可见效率还是可以的，但是对于一个因子很少、因子值很大的大整数n来说，Pollard rho算法的效率仍然不是很好
#include <iostream> #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> #include <algorithm> #include <vector> #include <queue> #include <stack> #include <map> #include <set> #include <cmath> #include <time.h> #include <iomanip> #include <cctype> using namespace std; /** Miller_Rabin 算法进行素数测试 快速判断一个<2^63的数是不是素数,主要是根据费马小定理 */ #define ll long long const int S=8; ///随机化算法判定次数 ///计算ret=(a*b)%c a,b,c<2^63 ll mult_mod(ll a,ll b,ll c) { a%=c; b%=c; ll ret=0; ll temp=a; while(b) { if(b&1) { ret+=temp; if(ret>c) ret-=c;//直接取模慢很多 } temp<<=1; if(temp>c) temp-=c; b>>=1; } return ret; } ///计算ret=(a^n)%mod ll pow_mod(ll a,ll n,ll mod) { ll ret=1; ll temp=a%mod; while(n) { if(n&1) ret=mult_mod(ret,temp,mod); temp=mult_mod(temp,temp,mod); n>>=1; } return ret; } ///通过费马小定理 a^(n-1)=1(mod n)来判断n是否为素数 ///中间使用了二次判断,令n-1=x*2^t ///是合数返回true，不一定是合数返回false bool check(ll a,ll n,ll x,ll t) { ll ret=pow_mod(a,x,n); ll last=ret;//记录上一次的x for(int i=1;i<=t;i++) { ret=mult_mod(ret,ret,n); if(ret==1&&last!=1&&last!=n-1) return true;//二次判断为是合数 last=ret; } if(ret!=1) return true;//是合数,费马小定理 return false; } ///Miller_Rabbin算法 ///是素数返回true(可能是伪素数)，否则返回false bool Miller_Rabbin(ll n) { if(n<2) return false; if(n==2) return true; if((n&1)==0) return false;//偶数 ll x=n-1; ll t=0; while((x&1)==0) { x>>=1; t++; } srand(time(NULL)); for(int i=0;i<S;i++) { ll a=rand()%(n-1)+1; // 生成随机数 0<a<=n-1 去试试 if(check(a,n,x,t)) return false; } return true; } /** pollard_rho算法进行质因素分解 */ ll factor[100];//质因素分解结果(一开始无序） int tot;//质因素的个数 0~to-1 ll gcd(ll a,ll b) { ll t; while(b) { t=a; a=b; b=t%b; } if(a>=0) return a; return -a; } ///找到一个质因素 ll pollard_rho(ll x,ll c) { ll i=1,k=2; srand(time(NULL)); ll x0=rand()%(x-1)+1;//随即一个因子来判断 ll y=x0; while(1) { i++; x0=(mult_mod(x0,x0,x)+c)%x; ll d=gcd(y-x0,x); if(d!=1&&d!=x) return d; if(y==x0) return x; if(i==k) { y=x0; k+=k; } } } ///对n进行质因素分解，存入factor数组，k为了防止死循环，设置为107左右 void findfac(ll n,int k) { if(n==1) return; if(Miller_Rabbin(n)) { factor[tot++]=n; return; } ll p=n; int c=k; while(p>=n) p=pollard_rho(p,c--); findfac(p,k); findfac(n/p,k); } int main() { int t;scanf("%d",&t); ll n; while(t--) { scanf("%I64d",&n); if(Miller_Rabbin(n)) { printf("Prime\n"); continue; } tot=0; findfac(n,107); sort(factor,factor+tot); for(int i=0;i<tot;i++) printf("%I64d ",factor[i]); printf("\n"); } return 0; }
