数论--gcd
- 辗转相除法：
原理：
\[\gcd(x,y) = \gcd(y,x \bmod y)
\]
证明：
设 $ z $ 为 $ x , y $ 的最大公约数。
有 $ z|x \text{ , } z|y $ ，则 $ z|(y-x) $ 。
所以：
\[\gcd ( x , y ) = \gcd ( x , x- k \times y) = \gcd ( y , x \bmod y) (k \times y \le x <(k+1) \times y)
\]
当 $ x < y $ 时：
\[x \bmod y = x
\]
所以：
\[\gcd (x , y ) = \gcd (y,x)
\]
当 $ y<x $ 时：
\[\gcd(x,y) = \gcd(y,x \bmod y)
\]
当 \(y==0\) 时，答案为 $ x $ 。
int gcd(int x,int y)
{
return y==0?x:gcd(y,x%y);
}
- 二进制算法：
通过不断筛去因子 $ 2 $ 来提高效率。
若 $ x=y $ ，则 $ \gcd (x,y) =x $ ，否则：
-
若 $ x,y $ 为偶数，则 $ \gcd (x,y) =2 \times \gcd (x/2,y/2)$
-
若 $ x $ 为偶数， $ y $ 不为偶数，则 $ \gcd (x,y) = \gcd(x/2,y) $
-
若 $ y $ 为偶数， $ x $ 不为偶数，则 $ \gcd (x,y) = \gcd(x/2,y) $
-
若 $ x,y $ 均不为偶数，则 $ \gcd(x,y)= \gcd (x-y,y) $
int GCD(int x,int y)
{
if(x==0)return y;
if(y==0)return x;
int i=0,j=0;
for(; (x&1)==0; i++)x>>=1;
for(; (y&1)==0; j++)y>>=1;
i=min(i,j);
while(1)
{
if(x<y)swap(x,y);
if(0==(x-=y))return y<<i;
while((x&1)==0)x>>=1;
}
}
