BZOJ 1084 最大子矩阵 dp

题目链接：

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1084

题目大意：

这里有一个n*m的矩阵，请你选出其中k个子矩阵，使得这个k个子矩阵分值之和最大。注意：选出的k个子矩阵不能相互重叠。n<=100 m<=2

思路：

m=1时，就是数组选出k个连续子段和最大。

dp[i][j]表示前i个数中已经取了j个连续子段和的最优解。

dp[i][j] = dp[i-1][j] 不取这个数

dp[i][j] = dp[start-1][j-1] + s[start]+...+s[i] 取这个数，并且从start到i作为第j个连续段（求区间和直接用前缀和求差代替）

m=2时

dp[i][j][k]表示第一列前i个数 第2列前j个数，已经取了k个子矩阵的最优解

dp[i][j][k] = max(dp[i-1][j][k], dp[i][j-1][k]) 不取这个数

dp[i][j][k] = dp[start-1][j][k-1] + s[start][1]+...+s[i][1] 第一列从start到i取出来作为第k个子矩阵

dp[i][j][k] = dp[i][start-1][k-1] + s[start][2]+...+s[i][2] 第二列从start到i取出来作为第k个子矩阵

dp[i][j][k] = dp[start-1][start-1][k-1] + s[start][1]+...+s[i][1]+s[start][2]+...+s[j][2]当且仅当i==j 两列同时取。

同样的，区间求和用前缀和快速求出。

时间复杂度为O(n^3*k)

#include<bits/stdc++.h>
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);//不可再使用scanf printf
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))//禁用于函数，会超时
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define Mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define Dis(x, y, x1, y1) ((x - x1) * (x - x1) + (y - y1) * (y - y1))
#define MID(l, r) ((l) + ((r) - (l)) / 2)
#define lson ((o)<<1)
#define rson ((o)<<1|1)
#define Accepted 0
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")//栈外挂
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

typedef long long ll;
const int maxn = 100 + 10;
const int MOD = 1000000007;//const引用更快，宏定义也更快
const int INF = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-6;
int dp1[maxn][11];//m = 1       dp1[i][j]表示前i个数中取了j个连续段的最大值
int dp2[maxn][maxn][11];//m = 2     dp2[i][j][k]表示第一列前i个数第二列前j个数取了k个连续段的最大值
int s[maxn];
int sum[maxn][3];
int main()
{
    int n, m, K;
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &K);
    if(m == 1)
    {
        for(int i = 1; i <= n; i++)scanf("%d", &s[i]), s[i] += s[i - 1];//直接记录前缀和
        for(int i = 0; i <= n; i++)
            for(int j = 1; j <= K; j++)dp1[i][j] = -INF;//dp[i][0]均为初始化的0
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for(int j = 1; j <= K; j++)
            {
                dp1[i][j] = dp1[i - 1][j];//不取这个数字
                for(int start = 1; start <= i; start++)//从start开始一直取到i作为第j段
                {
                    dp1[i][j] = max(dp1[i][j], dp1[start - 1][j - 1] + s[i] - s[start - 1]);
                }
            }
        }
        printf("%d\n", dp1[n][K]);
    }
    else
    {
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for(int j = 1; j <= m; j++)
            {
                scanf("%d", &sum[i][j]);
                sum[i][j] += sum[i - 1][j];//记录每一列的前缀和
            }
        }
        for(int i = 0; i <= n; i++)for(int j = 0; j <= n; j++)for(int k = 1; k <= K; k++)dp2[i][j][k] = -INF;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            for(int j = 1; j <= n; j++)for(int k = 1; k <= K; k++)
        {
            dp2[i][j][k] = max(dp2[i - 1][j][k], dp2[i][j - 1][k]);//不取这个数字
            for(int start = 1; start <= i; start++)//第一列从start开始一直取到i作为第k个矩阵
                dp2[i][j][k] = max(dp2[i][j][k], dp2[start - 1][j][k - 1] + sum[i][1] - sum[start - 1][1]);
            for(int start = 1; start <= j; start++)//第二列从start开始一直取到j作为第k个矩阵
                dp2[i][j][k] = max(dp2[i][j][k], dp2[i][start - 1][k - 1] + sum[j][2] - sum[start - 1][2]);
            if(i == j)//两列从start开始一直取到i作为第k个矩阵
            {
                for(int start = 1; start <= i; start++)
                    dp2[i][j][k] = max(dp2[i][j][k], dp2[start - 1][start - 1][k - 1] + sum[i][1] + sum[i][2] - sum[start - 1][1] - sum[start - 1][2]);
            }
        }
        printf("%d\n", dp2[n][n][K]);
    }
    return Accepted;
}