组合数取模方法总结（Lucas定理介绍）

1.当n,m都很小的时候可以利用杨辉三角直接求。
C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)；

 

2、n和m较大，但是p为素数的时候

Lucas定理是用来求 c(n,m) mod p，p为素数的值。

C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p

 

也就是Lucas(n,m)%p=Lucas(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p

 

 

求上式的时候，Lucas递归出口为m=0时返回1

求C(n%p, m%p)%p的时候，此处写成C(n, m)%p(p是素数，n和m均小于p)

C(n, m)%p = n! / (m ! * (n - m )!) % p = n! * mod_inverse[m! * (n - m)!, p] % p

由于p是素数，有费马小定理可知，m! * (n - m)! 关于p的逆元就是m! * (n - m)!的p-2次方。

 

p较小的时候预处理出1-p内所有阶乘%p的值，然后用快速幂求出逆元，就可以求出解。p较大的时候只能逐项求出分母和分子模上p的值，然后通过快速幂求逆元求解。

P较大，不打表：

 

ll pow(ll a, ll b, ll m)
{
    ll ans = 1;
    a %= m;
    while(b)
    {
        if(b & 1)ans = (ans % m) * (a % m) % m;
        b /= 2;
        a = (a % m) * (a % m) % m;
    }
    ans %= m;
    return ans;
}
ll inv(ll x, ll p)//x关于p的逆元，p为素数
{
    return pow(x, p - 2, p);
}
ll C(ll n, ll m, ll p)//组合数C(n, m) % p
{
    if(m > n)return 0;
    ll up = 1, down = 1;//分子分母;
    for(int i = n - m + 1; i <= n; i++)up = up * i % p;
    for(int i = 1; i <= m; i++)down = down * i % p;
    return up * inv(down, p) % p;
}
ll Lucas(ll n, ll m, ll p)
{
    if(m == 0)return 1;
    return C(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p) % p;
}

 

P较小，打表：

const int maxn = 1e5 + 10;
ll fac[maxn];//阶乘打表
void init(ll p)//此处的p应该小于1e5，这样Lucas定理才适用
{
    fac[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= p; i++)
        fac[i] = fac[i - 1] * i % p;
}
ll pow(ll a, ll b, ll m)
{
    ll ans = 1;
    a %= m;
    while(b)
    {
        if(b & 1)ans = (ans % m) * (a % m) % m;
        b /= 2;
        a = (a % m) * (a % m) % m;
    }
    ans %= m;
    return ans;
}
ll inv(ll x, ll p)//x关于p的逆元，p为素数
{
    return pow(x, p - 2, p);
}
ll C(ll n, ll m, ll p)//组合数C(n, m) % p
{
    if(m > n)return 0;
    return fac[n] * inv(fac[m] * fac[n - m], p) % p;
}
ll Lucas(ll n, ll m, ll p)
{
    if(m == 0)return 1;
    return C(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p) % p;
}

 

3、n，m较大且p不为素数的时候

扩展Lucas定理：

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
ll pow(ll a, ll b, ll m)
{
    ll ans = 1;
    a %= m;
    while(b)
    {
        if(b & 1)ans = (ans % m) * (a % m) % m;
        b /= 2;
        a = (a % m) * (a % m) % m;
    }
    ans %= m;
    return ans;
}
ll extgcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y)
//求解ax+by=gcd(a, b)
//返回值为gcd(a, b)
{
    ll d = a;
    if(b)
    {
        d = extgcd(b, a % b, y, x);
        y -= (a / b) * x;
    }
    else x = 1, y = 0;
    return d;
}
ll mod_inverse(ll a, ll m)
//求解a关于模上m的逆元
//返回-1表示逆元不存在
{
    ll x, y;
    ll d = extgcd(a, m, x, y);
    return d == 1 ? (m + x % m) % m : -1;
}

ll Mul(ll n, ll pi, ll pk)//计算n! mod pk的部分值  pk为pi的ki次方
//算出的答案不包括pi的幂的那一部分
{
    if(!n)return 1;
    ll ans = 1;
    if(n / pk)
    {
        for(ll i = 2; i <= pk; i++) //求出循环节乘积
            if(i % pi)ans = ans * i % pk;
        ans = pow(ans, n / pk, pk); //循环节次数为n / pk
    }
    for(ll i = 2; i <= n % pk; i++)
        if(i % pi)ans = ans * i % pk;
    return ans * Mul(n / pi, pi, pk) % pk;//递归求解
}

ll C(ll n, ll m, ll p, ll pi, ll pk)//计算组合数C(n, m) mod pk的值 pk为pi的ki次方
{
    if(m > n)return 0;
    ll a = Mul(n, pi, pk), b = Mul(m, pi, pk), c = Mul(n - m, pi, pk);
    ll k = 0, ans;//k为pi的幂值
    for(ll i = n; i; i /= pi)k += i / pi;
    for(ll i = m; i; i /= pi)k -= i / pi;
    for(ll i = n - m; i; i /= pi)k -= i / pi;
    ans = a * mod_inverse(b, pk) % pk * mod_inverse(c, pk) % pk * pow(pi, k, pk) % pk;//ans就是n! mod pk的值
    ans = ans * (p / pk) % p * mod_inverse(p / pk, pk) % p;//此时用剩余定理合并解
    return ans;
}

ll Lucas(ll n, ll m, ll p)
{
    ll x = p;
    ll ans = 0;
    for(ll i = 2; i <= p; i++)
    {
        if(x % i == 0)
        {
            ll pk = 1;
            while(x % i == 0)pk *= i, x /= i;
            ans = (ans + C(n, m, p, i, pk)) % p;
        }
    }
    return ans;
}

int main()
{
    ll n, m, p;
    while(cin >> n >> m >> p)
    {
        cout<<Lucas(n, m, p)<<endl;
    }
    return 0;
}