树状数组

附上学习PPT：传送门

概念

树状数组或者二叉索引树也称作Binary Indexed Tree，又叫做Fenwick树；它的查询和修改的时间复杂度都是log(n)，空间复杂度则为O(n)，这是因为树状数组通过将线性结构转化成树状结构，从而进行跳跃式扫描。通常使用在高效的计算数列的前缀和，区间和。

其中a数组就是原数组，c数组则是树状数组，可以发现

C1 = A1
C2 = A1+A2
C3 = A3
C4 = A1+A2+A3+A4
C5 = A5
C6 = A5+A6
C7 = A7
C8 = A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8

原理

lowbit

它通过公式来得出k，其中k就是该值从末尾开始0的个数。然后将其得出的结果加上x自身就可以得出当前节点的父亲节点的位置或者是x减去其结果就可以得出上一个父亲节点的位置。比如当前是6，二进制就是0110，k为2，那么6+2=8，而C(8)则是C(6)的父亲节点的位置；相反，6-2=4，则是C(6)的上一个父亲节点的位置。

int lowbit(int x)
{

    return (x & (-x));
}

 

注意：lowbit无法处理0的情况，因为它的结果也是0，那么最终就是一个死循环，所以，树状数组全部设置成以1开始的下标

单点修改

当我们要对最底层的值进行更新时，那么它相应的父亲节点存储的和也需要进行更新，所以修改的代码如下：

//向后修改某一点的值
void add(int x, int d)
{
    while(x <= n)
    {
        a[x] += d;
        x += lowbit(x);
    }
}

 

查询

而查询的时候，则需要向前进行统计

//向前统计[1, x]的区间和
int sum(int x)
{
    int ret = 0;
    while(x > 0)
    {
        ret += a[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return ret;
}

 

注意：

更新某点a[i] += p;调用add(i, p);

 

求区间[x, y]的和调用sum(y) – sum(x - 1);

 

 

例如

15=(1111)2，通过lowbit分解，它可以变成4个数的和：(1111)2=(1)2+(10)2+(100)2+(1000)2，然后我们分析这个倒着跳的过程。减去15的最小的2的幂次2^0得到14。减去14的最小的2的幂次2^1得到12。减去12的最小的2的幂次2^2得到8。减去8的最小的2的幂次2^3得到0。

所以C(15) = C(14) + C(12) + C(8) + C(0)，由图也可以得知，其结果是正确的。

除此之外，树状数组能够快速的求任意区间的和，设sum(k) = A[1] + A[2] + ... + A[k]，则A[i] + A[i+1] + ... + A[j] = sum(j) - sum(i-1)。

 

树状数组还有区间修改单点求和的作用

 

int sum(int x)
{
    int ret = 0;
    while(x <= n)
    {
        ret += a[x];
        x += lowbit(x);
    }
    return ret;
}
//向前修改[0, x]整个区间加上d
void add(int x, int d)
{
    while(x > 0)
    {
        a[x] += d;
        x -= lowbit(x);
    }
}
更新某区间，使区间[x, y]加上d调用add(y, d);add(x-1, -d);
求a[x],调用sum(x);