网络流（六）最小费用最大流问题

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网络流（一）基础知识篇

网络流（二）最大流的增广路算法

网络流（三）最大流最小割定理

网络流（四）dinic算法

网络流（五）有上下限的最大流

网络流（六）最小费用最大流问题

最小费用最大流

简介

最小费用最大流是解决这么一种问题: 对于图中的每一条边来说, 除了有一个最大容量的属性以外，还有一个费用属性, 即流过这条边的单位流量的花费。求解的问题为在保证从源点到汇点的流量最大的前提下使得花费最少。

求解思想

我们来考虑这么一个问题: 在最短路的一些变形的题目中往往有这种题，每条路不仅仅有一个长度还有一个建设的费用， 最终求从起点到终点在保证路最短的前提下，使得花费的钱最少。当时我们是怎么求解的呢？
首先我们知道，最短路的长度是一定的，但是组成一条最短路的边是不一定的，所以我们在搜索这条最短路的时候只要通过调整待选边的优先级来控制搜索的方向就可以满足上述问题的要求。
这个问题跟我们现在求解的最小费用最大流问题神似啊，只要我们在寻找增广路的时候调整待选边的优先级来控制寻找方向，这个问题就可以解决了啊。我们直到对于一条增广路来说, 花费满足: , 实际上这里的优先级就是每条边的长度认为是其单位流量的花费的最短路。

给出一个容量网络，那他的最大流一定是一个定值（即使是有多个一样的最大值）。所以我们从开始的可行流开始增广时，最终的增广量是一定的。所以为了满足最小费用我们只需要每次找最小费用的增广路即可，直到流量为最大值。这个问题仅仅是在求增广路时先考虑费用最小的增广路，其他思想和EK思想一样。
我们学过SPFA求最短路算法（bellman-ford的队列优化），所以我们将弧的费用看做是路径长度，即可转化为求最短路的问题了。只需要所走的最短路满足两个条件即可：1可增广cap> flow,2路径变短d[v]>d[u]+cost< u,v> 。

下面的模板取自刘汝佳算法入门经典，模板中SPFA算法（Bellman-Ford）和最大流的增广路算法同步进行，十分巧妙

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1000 + 10;
struct edge
{
    int u, v, c, f, cost;
    edge(int u, int v, int c, int f, int cost):u(u), v(v), c(c), f(f), cost(cost){}
};
vector<edge>e;
vector<int>G[maxn];
int a[maxn];//找增广路每个点的水流量
int p[maxn];//每次找增广路反向记录路径
int d[maxn];//SPFA算法的最短路
int inq[maxn];//SPFA算法是否在队列中
int n, m;
void init(int n)
{
    for(int i = 0; i <= n; i++)G[i].clear();
    e.clear();
}
void addedge(int u, int v, int c, int cost)
{
    e.push_back(edge(u, v, c, 0, cost));
    e.push_back(edge(v, u, 0, 0, -cost));
    int m = e.size();
    G[u].push_back(m - 2);
    G[v].push_back(m - 1);
}
bool bellman(int s, int t, int& flow, long long & cost)
{
    for(int i = 0; i <= n + 1; i++)d[i] = INF;//Bellman算法的初始化
    memset(inq, 0, sizeof(inq));
    d[s] = 0;inq[s] = 1;//源点s的距离设为0，标记入队
    p[s] = 0;a[s] = INF;//源点流量为INF（和之前的最大流算法是一样的）

    queue<int>q;//Bellman算法和增广路算法同步进行，沿着最短路拓展增广路，得出的解一定是最小费用最大流
    q.push(s);
    while(!q.empty())
    {
        int u = q.front();
        q.pop();
        inq[u] = 0;//入队列标记删除
        for(int i = 0; i < G[u].size(); i++)
        {
            edge & now = e[G[u][i]];
            int v = now.v;
            if(now.c > now.f && d[v] > d[u] + now.cost)
                //now.c > now.f表示这条路还未流满（和最大流一样）
                //d[v] > d[u] + e.cost Bellman 算法中边的松弛
            {
                d[v] = d[u] + now.cost;//Bellman 算法边的松弛
                p[v] = G[u][i];//反向记录边的编号
                a[v] = min(a[u], now.c - now.f);//到达v点的水量取决于边剩余的容量和u点的水量
                if(!inq[v]){q.push(v);inq[v] = 1;}//Bellman 算法入队
            }
        }
    }
    if(d[t] == INF)return false;//找不到增广路
    flow += a[t];//最大流的值，此函数引用flow这个值，最后可以直接求出flow
    cost += (long long)d[t] * (long long)a[t];//距离乘上到达汇点的流量就是费用
    for(int u = t; u != s; u = e[p[u]].u)//逆向存边
    {
        e[p[u]].f += a[t];//正向边加上流量
        e[p[u] ^ 1].f -= a[t];//反向边减去流量 （和增广路算法一样）
    }
    return true;
}
int MincostMaxflow(int s, int t, long long & cost)
{
    cost = 0;
    int flow = 0;
    while(bellman(s, t, flow, cost));//由于Bellman函数用的是引用，所以只要一直调用就可以求出flow和cost
    return flow;//返回最大流，cost引用可以直接返回最小费用
}