POJ-3421 X-factor Chains---求因子+递推 或 素因子+组合数学
题目链接：
https://vjudge.net/problem/POJ-3421
题目大意：
给你一个数X，将X分解成1~X的因子数列，前一个数可以整数后一个数，求满足条件的最大链长以及有多少条这样长的链。
思路一：
自己的解答：
首先求出所有的因子，排序，然后定义一个length数组和tot数组，length[i]表示从第i个因子到最后一个因子的最大链长，tot[i]表示第i个因子到最后一个因子的最大链长的种类，要求length[0]和tot[0]
已知length[last] = 0，tot[last] = 1（即最后一个因子的链长记为0，这里记为0的话，最后就不用减一，因为题目中第一个因子1不计入链长，数目记为1）
然后就是从后往前的递推式：可以看个例子：
n = 100
下标 0 1 2 3 4 5 6 7 8
因子 1 2 4 5 10 20 25 50 100
length 4 3 2 3 2 1 2 1 0
因子50，100可以整除50，那么length[(50)] = length[(100)] + 1 = 1
因子25，50可以整除25，那么length[(25)] = length[(50)] + 1 = 2
同理可求出上述的length数组
递推式就是length[i] = length[j] + 1(其中下标为j的因子是最小的可以整除下标为i的因子)
然后就可以推出tot数组
tot数组就相当于length从后往前有多少个0 1 2 3 4的序列
n = 100
下标 0 1 2 3 4 5 6 7 8
因子 1 2 4 5 10 20 25 50 100
length 4 3 2 3 2 1 2 1 0
tot 6 3 1 3 2 1 1 1 1
1、对于因子50的length=1，因子100的length=0，且100整除50，所以tot[(50)]=tot[(100)]=1 相当于从50开始到最后只有一条路，就是50，100
2、对于因子25的length=2，因子50的length=1，且50整除25，所以tot[(25)] = tot[(50)] = 1 相当于从25开始到最后只有一条路，就是25，50，100‘
3、对于因子20的length=1，因子100的length=0，且100整除20，所以tot[(20)] = tot[(100)] = 1 相当于从20开始只有一条路，就是20，100
4、对于因子10的length=2，因子20和50的length=1，且20和50均整除10，所以tot[(10)]=tot[(50)]+tot[(20)]=2 相当于从10开始有两条路，是10，20，100或者10，50，100
5、对于因子5的length=3，因子10和25的length=2，且10和25均整除5，所以tot[(5)]=tot[(10)]+tot[(25)]=3 相当于从5开始有三条路，是5，10，20，100或者5，10，50，100或者5，25，50，100
6、对于因子4的length=2，因子20和50的length=1，且20整除4，50不整除4，所以tot[(4)]=tot[(20)]=1 相当于从4开始有一条路，是4，20，100
7、对于因子2的length=3，因子4和10和25的length=1，且4和10整除2，25不整除2，所以tot[(2)]=tot[(4)]+tot[(10)]=3 相当于从2开始有三条路，是2，4，20，100或者2，10，20，100或者2，10，50，100
8、对于因子1的length=4，因子2和5的length=3，且2和5均整除1，所以tot[(1)]=tot[(2)]+tot[(5)]=6 相当于从1开始有六条路，是1，2，10，20，100或者1，2，10，50，100或者1，2，4，20，100或者1，5，10，20，100或者1，5，10，50，100或者1，5，25，50，100
递推式：tot[i] = sum(tot[j]) 其中第j个因子的length=第i个因子的length-1，并且第j个因子整除第i个因子
上述递推式文字说明比较繁琐，但是理解之后就特别简单，抓紧题目的意思，后一个因子整除前一个因子，然后递推式就可以想出来了。
1 #include<iostream> 2 #include<vector> 3 #include<queue> 4 #include<algorithm> 5 #include<cstring> 6 #include<cstdio> 7 #include<set> 8 #include<map> 9 #include<cmath> 10 using namespace std; 11 typedef pair<int, int> Pair; 12 typedef long long ll; 13 const int INF = 0x3f3f3f3f; 14 int T, n, m; 15 int length[1005], tot[1005]; 16 vector<int> divisor(int n) 17 { 18 vector<int>res; 19 for(int i = 1; i * i <= n; i++) 20 { 21 if(n % i == 0) 22 { 23 res.push_back(i); 24 if(i != n / i)res.push_back(n / i); 25 } 26 } 27 return res; 28 } 29 int main() 30 { 31 while(cin >> n) 32 { 33 vector<int>a = divisor(n); 34 sort(a.begin(), a.end()); 35 memset(length, 0, sizeof(length)); 36 memset(tot, 0, sizeof(tot)); 37 int m = a.size(); 38 length[m - 1] = 0; 39 for(int i = m - 2; i >= 0; i--) 40 { 41 for(int j = i + 1; j < a.size(); j++) 42 { 43 if(a[j] % a[i] == 0) 44 { 45 length[i] = length[j] + 1; 46 break; 47 } 48 } 49 } 50 tot[m - 1] = 1; 51 for(int i = m - 2; i >= 0; i--) 52 { 53 for(int j = i + 1; j < m; j++) 54 { 55 if(length[j] + 1 == length[i]) 56 { 57 if(a[j] % a[i] == 0) 58 tot[i] += tot[j]; 59 } 60 } 61 }/* 62 for(int i = 0; i < m; i++) 63 { 64 cout<<a[i]<<" "<<length[i]<<" "<<tot[i]<<endl; 65 }*/ 66 cout<<length[0]<<" "<<tot[0]<<endl; 67 } 68 }
思路二：
网上常规方法，直接求出所有素因子，然后素因子的数目就是链长，不难理解，每次递增的时候，前一个因子乘上一个素因子，直到所有素因子乘完，就到达n了
具体的数目就是这些素因子的排列组合的数目，比如100=2*2*5*5，素因子4个，排列组合次数为4！/(2!*2!) = 6，就是简单的组合数学
代码随便在网上找就行了，这里就不赘述了
