组合游戏的基本概念

1、首先介绍一个简单的取石子游戏，规则如下：

（1）游戏参与者有两名，用A和B表示这两人

（2）有21枚石子摆成一堆

（3）两人轮流取石子，最少一枚，最多3枚

（4）两人都足够聪明，拿到最后一枚石子的玩家获胜

游戏可以逆推：

（1）当前局面无石子，上一玩家赢

（2）当前局面1-3石子，该玩家赢

（3）当前局面4石子，不管自己拿几枚石子，必输

（4）当前局面5-7石子，该玩家可把局面变成4石子，该玩家必赢

（5）当前局面8石子，不管自己拿几枚石子，给对手的局面都是对手必赢，自己必输

从上分析，当玩家面临0，4，...4n的局势，是必输的。面对着其他的局势，一定可以转化成4n的局势，自己必赢。

 

2、组合游戏的特点：

（1）游戏参与者有双方，且轮流行动

（2）每一方在决策的时候就能看到整个局势

（3）所有行动都将确定性的将当前局势转化成下一局势

（4）游戏开始后，一定在有限步数可以结束

 

3、组合游戏中的常见定义

P位置：前一玩家(Previous Player)获胜的位置

N位置：后一玩家(Next Player)获胜的位置

结束位置：由游戏规则所确定的位置，处于结束位置，不能再向其他位置移动

普通组合游戏：结束位置是P位置的组合游戏

Misere游戏：结束位置是N位置的组合游戏

 

4、下面只讨论普通组合游戏中P位置和N位置的计算

（1）把所有结束的位置标记为P位置

（2）一步能移动到P位置的位置标记成N位置

（3）一步只能移动到N位置的标记成P位置

（4）如果上一步没有位置标记成P位置算法结束，否则转到（2）

 

5、在组合游戏中P位置和N位置有如下性质：
（1）所有结束的位置都是P位置

（2）从任意一个N位置出发，通过一步一定能到达P位置

（3）从任意一个P位置出发，通过一步只能到达N位置

 

举例说明：

S={1，3，4}，有一个n个石子的石子堆，两玩家依次取石子，取石子的数目只能是S中的某个数，取走最后一枚石子的玩家获胜。

分析：

设X为剩余石子数目，逆推这个游戏

（1）首先可知X=0为P位置

（2）X=1、3、4可以一步到达x=0的P位置，所以这些点为N位置

（3）X=2只能到达X=1的N位置，所以X=2为P位置 

 

（4）X=5、6可以一步到达X=2的P位置，所以这些点为N位置

 

（5）X=7只能到达N位置，X=7为P位置

 

通过观察发现，被7整除和模7余2的位置均为P位置，其他位置为N位置（自然归纳法）

若起始位置为x=100，那么最先开始拿石子的玩家必输