差分约束系统
1.差分约束系统
假设有这样一组不等式
X1-X2 <= 0
X1-X5 <= -1
X2-X5 <= 1
X3-X1 <= 5
X4-X1 <= 4
X4-X3 <= -1
X5-X3 <= -3
X5-X4 <= -3
每个不等式都是两个未知数的差小于等于某个常数(大于等于也行，因为左右*-1即可)。这样的不等式组称为差分约束系统
这个不等式组要么无解，要么无数组解，因为如果有一组解{X1, X2, ...Xn}，那么每个数字加上常数k也满足不等式，因为两个数同时加上k，他们之间的差不变。
2.差分约束系统和最短路径
此处应有传送门：
*SPFA
（*表示重点）
差分约束系统的求解需要利用单源最短路径问题中的三角形不等式，即对于有向图（无向图）中的任何一条边<u, v>都有：
d[v] <= d[u] + Edge[u][v]
式中d[u]和d[v]表示从原点分别到顶点u，v的最短路径的长度，Edge[u][v]是边的权值。式子显然成立，可参考上述链接Bellman-Ford算法中的松弛过程讲解。
上面的不等式可以转化成d[v] - d[u] <= Edge[u][v]
3.有向图的构造
构造方法：
每个不等式中的未知数Xi对应图中的一个顶点Vi，把所有不等式Xi-Xj<=c转化成边<Vj. Vi>，权值为c
最后加入一个源点X0，由于三角不等式，索性把源点0到其他点的距离设置成0，以上述例子为例，就多出下面5条不等式
X1 - X0 <= 0
X2 - X0 <= 0
X3 - X0 <= 0
X4 - X0 <= 0
X5 - X0 <= 0
根据上述不等式，可以建出下图：
构件好图之后，以V0为源点，求单源最短路径，由于存在负权边，所以只能用Bellman-Ford求解，最终得到V0到个点的最短路径就是上述差分约束系统的一组解
如上图，{-5，-3，0，-1，4}就是一组解，如果把每个数字加上10也满足之前的不包括X0的不等式，但是这是无关紧要的，因为X0本来就是后来加上去的，满不满足X0有关的式子并不影响原来不等式组的解。
关于源点V0的取值，对于{-5，-3，0，-1，4}来说V0取的是0，因为本来就求源点到某点的最短路径长度，源点到自己本身的距离就是0。
4.差分约束系统无解的情况
如果建设的有向图中存在负权值回路(负环)，那么就是无解。
X1 - X5 <= -5
X4 - X1 <= 3
X5 - X4 <= -1
上述三式相加得0 <= -3，无解
差分约束系统求最大值时，构造边按照：d[v] - d[u] <= Edge[u][v] (u->v连边)，求解时按照最短路求解（也就是松弛的时候按照原来的方式进行松弛）
求最小值时，构造边按照：d[v] - d[u] >= Edge[u][v]（u->v连边），求解时按照最长路进行求解（松弛的时候和原来相反）
权值为正的时候还可以用dijkstra
