P3166 数三角形

P3166 数三角形

过的第一篇紫题，特此发一篇博客庆祝一下

思路

obviously，总体思路大概为这样的：【三角形数量】等于【任选三个点的方案数】减去【三点共线方案数】

因为是一个N · M的方格，所以共有（n+1）·（m+1）的点，那么由组合数可得【三个点的方案数】为$C_{(n+1)(m+1)}^3$

so现在我们只需要知道三点共线的方案数即可

【三点共线的方案数】等于【横着的】加上【竖着的】加上【斜着的】

接下来我们就要分类讨论了：

【横着的】：

指三点所在直线平行于 x 轴。共有 m+1 条横线，每条横线上有 n+1 个点，从这 n+1 个点中选取 3 个，方案数为 （m+1）$C_{n+1}^3$

那么同理，【竖着的】指三点所在直线平行于 y 轴，方案数为（n+1）$C_{m+1}^3$

最难的是【斜着的】，斜着的直线按斜率正负分为两种，并且这两种方案数是相等（obviously）所以，我们只需要计算出斜率为正的方案数，再乘2就完了（好像很简单）

方便起见，我们将斜率为正的方案数记为ans

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解决

通过观察可以发现一个小小的结论：

假设网格中AB平行于底边x轴，长度为i，BC平行于侧边y轴，长度为j，那么AC上的整点数为gcd(i , j) + 1（这个很好发现）

那么我们就可以枚举两点横坐标差 i，纵坐标差 j，则两点连线上的整点数量为 gcd(i , j) + 1不算两端点自身的话有 gcd(i , j) − 1 个）

对于每组横坐标差 i，纵坐标差 j 的点对，我们先选取两端点，再在他俩之间的 gcd(i , j) - 1 个点中任选一个作为第三个点，方案数为 gcd(i , j) - 1

每组点对可以有 gcd(i , j) - 1 种方案，像这样横坐标差 i，纵坐标差 j 的点对共有 (n - i + 1)(m - j + 1) 个，故可以枚举 i , j 计算：$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m$(n - i + 1)(m - j + 1)(gcd(i , j) - 1 )

当然，直接计算这个式子时间复杂度为O(nm)=O($n^2$),考虑gcd的话甚至是O($n^2\log n$）(但是对于这题还是绰绰有余的，毕竟数据太水了）

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****看了题解后发现竟然还有O(n)的方法，不过本人太菜了，没有看懂（蒟蒻）