树上问题记录

记录一下这一类问题。

T1

P4211 [LNOI2014] LCA
每次给出 $l,r,x$ , 定义 $de{p}_u$ 为 $u$ 节点到根节点的距离+1，求 $\sum _{i=l}^{r}dep(lca(i,z))$ 。
$n$ 个节点 ，$m$ 次询问 ，其中 $n,m\le 5e4$ 。

题目很简洁，我们如果暴力求每一个 lca ，复杂度将是 $O(n^2\log n)$ 的，需要转换式子。考虑到每一个询问有一个点 z 是固定的，不妨从这里入手 。

因为有一个定点，所以所有枚举到的 lca 一定是在 z 到根节点的这条链上（包括 $z$ 节点），而且 lca 同样在另一个节点到根节点这条链上，取第一个交点就好了。所以求 $dep(lca)$ 就变成了求这两条路径的交集就好了。

考虑离线询问为 $\sum _{i=1}^{r}dep(lca(i,z))-\sum _{i=1}^{l-1}dep(lca(i,z))$，写个树剖套一个线段树就好了，总的复杂度为
$O(n{\log }^{2}n)$ 。写代码的时候记得注意取模以及相减的时候避免出现负数。

T2

P5305 [GXOI/GZOI2019]旧词
T1的升级版，求 $\sum _{i=l}^{r}dep(lca(i,z){)}^{k}mod998244353$ ，数据范围 ${10}^5$ 。

和之前一样的思路，但是要维护的值是要求 k 次方的，所以我们考虑差分，让根节点到每一个点路径上的值之和等于这个值，因此每一个线段树上的点需要带一个 $de{p}_u^k-(de{p}_u-1{)}^k$ 的权值，再相乘就好了，和之前的做法一致了，由于我们还要快速求 ${10}^9$ 次方，还得写一个快速幂。

T3

Lomsat gelral
对于每一个 $i\in [1,n]$，求出以 $i$ 为根的子树中，占数量最多的颜色的编号和。$n\le {10}^5$ 。

考虑线段树合并，递归完成每一个子节点后与根节点合并，维护的将是颜色的权值线段树，复杂度为 $O(n\log n)$ ，时空都一样。注意 pushup 的时候如果碰到数量一样多的颜色要并起来，且计数器要开 long long 。

考虑 dsu on tree ，先递归解决轻儿子，然后在计数器中删掉贡献，最后解决重儿子，然后再直接把其他轻儿子合并上去，总的复杂度也是 $O(n\log n)$ 。

T4

P4556 [Vani有约会]雨天的尾巴
每次给出 $u,v$ ，在他们最短简单路径上加权值为 $w$ 的标记，问最后每一个节点的最多权值的数值。

考虑线段树合并，对于每一个操作打上树上差分标记，最后统一 dfs 一次，暴力 merge 所有的信息，时间复杂度 $O(n\log n)$。

考虑树链剖分，在线做法，每个操作都使用树剖一条链一条链去跳，再用线段树维护，时间复杂度 $O(n{\log }^{2}n)$。

考虑 dsu on tree，和线段树合并一样先打上差分标记，再遍历轻儿子删贡献，暴力 merge 到重儿子上，时间复杂度 $O(n\log n)$。

T5

P4197 Peaks
给定无向带边权带点权图，$q$ 组询问，每组询问询问从点 $v$ 开始只经过边权不大于 $x$ 的路径所能到达的点中第 $k$ 大点权，如果无解输出 −1。

因为要求走不超过 x 边权的路径，所以肯定是走最小生成树最优，因此建立 $\text{Kruskal}$ 重构树维护连通性，再写一个树剖 lca 求能到达的边，最后又因为求第 k 大还要套个 dfs 序的主席树去求解静态第 k 大，总的时间复杂度为 $O(n\log n)$ 。这个题目缝合了很多算法，属于是码农题了。

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本文作者：fzeのblog
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