方差
期望反应的时均值概念,方差反应的则是数据的波动概念,为了防止±波动在求和过程中抵消以及防止求abs导致的不可导问题,我们使用平方来统计波动数据。随机变量的方差定义为:
D(X)=E[(X−E(X))2]
对上式展开:
D(X)=E{X2−2XE(X)+E(X)2}=E(X2)−2E(X)E(X)+E(X)2=E(X2)−E(X)2
方差的性质
- D(X+C)=D(X)
证:
D(X+C)=E[(X+C)2]−E(X+C)2=E{X2+2CX+C2}−E(X)2−C2−2CE(X)=E(X2)−E(X)2=D(X)
- D(CX)=C2D(X)
证:
D(CX)=E[(CX)2]−[CE(X)]2=E(C2X2)−C2E(X)2C2E(X2)−C2E(X)2=C2[E(X2)−E(X)2]=C2D(X)
- D(X±Y)=D(X)+D(Y) 仅XY独立时成立
D(X±Y)=E{X2+Y2±2XY}−[E(X±Y)]2=E(X2)+E(Y2)±2E(XY)−{E(X)2+E(Y)2±2E(X)E(Y)}=E(X2)−E(X)2+E(Y2)−E(Y)2+2[E(XY)−E(X)E(Y)]
当XY独立时,E(XY)=E(X)E(Y)
则:
D(X±Y)=D(X)+D(Y)
协方差
协方差的定义为Cov(X,Y)=E[(X−EX)(Y−EY)]
适当化简上式:
Cov(X,Y)=E{XY+EXEY−XEY−YEX}=E(XY)−EXEY
可以发现其和D(X+Y)的关系式:
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2[E(XY)−EXEY]=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)
协方差实际使用时,容易受到量纲的影响,比如分析身高相关的协方差时,使用m和cm作为单位,协方差数值上相差1万倍
协方差实际上描述的是变量相关性,当XY独立时,E(XY)=EXEY;Cov(X,Y)=0,但不能通过协方差为0判定XY独立,即独立一定不相关,不相关不一定独立
相关系数
定义相关系数为
ρ=Cov(X,Y)√DX√DY,−1≤ρ≤1
柯西施瓦兹不等式
[E(XY)]2≤[EX]2[EY]2
证明:
设g(t)=E[(tX−Y)2] 易知:g(t)≥0
E{t2X2−2tXY+Y2}≥0t2E(X2)+EY2−2tE(XY)≥0→Δ=4(EXY)2−4EX2EY2≤0→[E(XY)]2≤EX2EY2
令X1=X−EX,Y1=Y−EY
ρ2=[E(X1Y1)]2EX21EY21由柯西施瓦兹不等式ρ2≤1,故−1≤ρ≤1
ρ描述的是随机变量之间的线性关系, 纯线性关系可以表示为:Y=aX+b; 当ρ=−1时,变量之间是负的线性关系,当ρ=1 时,变量之间是线性关系,当ρ=0时,表示两者无线性关系(不是独立)
言外之意,(-1,0)时有负相关,(0,1)时是正相关,越靠近0,相关性越弱
原点矩和中心矩
k阶原点矩定义E(Xk),因此期望也叫做一阶原点矩
中心矩定义为E[(X−u)k], 因此D(X)=E[(X−EX)2]是以EX为中心的二阶中心矩,上面的EX是以原点(0)为中心的一阶矩
实际应用中,很少超过四阶矩
后续的随机过程中,还涉及到矩的应用
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