奈奎斯特采样定理

几个基本公式

基本信号的傅里叶变换

以下是冲击信号、直流信号、虚指数信号的傅里叶变换

$$\mathcal{F}(\delta(t)) = 1 \\ \mathcal{F}(1) = 2\pi\delta(\omega) \\ \mathcal{F}(\delta(t-T)) = exp(-j\omega T） \\ \mathcal{F}(exp(jw_0t)) = 2\pi\delta(w-w_0)$$

冲击信号作用

相乘:

$$F(t) = f(t) \delta(t) = f(0) \delta(t)\\ \int_{-\infty}^{\infty}F(t)dt = f(0) \\ f(t)\delta(t-T) = f(T)$$

卷积:

$$F(t) = f(t)*\delta(t) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t-\tau)\delta(\tau)d{\tau} = \\ f(t)\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\tau)d\tau = f(t) \\ f(t)*\delta(t-T) = f(t-T)$$

信号采样

$$S(t) = \sum_{-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s) \\ x_s(t) = x(t)S(t) = \sum_{-\infty}^{\infty}[x_s(nT_s)\delta(t-nT_s)]$$

信号周期延拓

$$P(t) = \sum_{-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0) \\ \widetilde{x}(t) = x(t)*P(t) = \sum_{-\infty}^{\infty}[x(t)*\delta(t-nT_0)] = \\ \sum_{-\infty}^{\infty}[x(t-nT_0)]$$

信号采样的频域情况

由傅里叶变换性质 时域乘积等于频域卷积，我们考虑采样信号的傅里叶变换:

$$\mathcal{F}(S(t)) = \mathcal{F}(F_s[\widetilde{S}(t)])$$

其中$F_s$表示周期信号的傅里叶级数，对于$\widetilde{S}(t)$ 而言，其傅里叶级数的各项系数是：

$$C_n=\frac{1}{T_s}\int_{-\frac{T_s}{2}}^{\frac{T_s}{2}}[\widetilde{S}(t)exp(-jn\omega_st)]dt =\\ \frac{1}{T_s}\int_{-\frac{T_s}{2}}^{\frac{T_s}{2}}[\sum\delta(t-kT_s)exp(-jn\omega_st)]dt$$

因为积分周期$[-\frac{T_s}{2}, \frac{T_s}{2}]$ 内只有一个冲击信号$\delta(t)$，所以上公式可以写为:

$$C_n = \frac{1}{T_s}\int_{-\frac{T_s}{2}}^{\frac{T_s}{2}}[\delta(t)exp(-jn\omega_st)]dt = \frac{1}{T_s}$$

因此信号$S(t)$就可以写作:

$$S(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}[C_nexp(jnw_st)] = \frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}exp(jnw_st)$$

现在对$S(t)$做傅里叶变换:

$$\mathcal{F}(\omega) = \frac{1}{T_s}\int_{-\infty}^{\infty}[\sum_{n=-\infty}^{\infty}exp(jnw_st)]exp(-jwt)dt = \\ \frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j[w-nw_s]t}dt] = \frac{1}{T_s}\sum\delta(w-nw_s)$$

或者，根据$\mathcal{F}$的线性性质，也可以这么来看：

$$\mathcal{F}(S(t))= \frac{1}{T_s}\sum\mathcal{F}[exp(jnw_st)] = \frac{2\pi}{T_s}\sum\delta(w-nw_s)$$

设原信号的傅里叶变换是$x(w)$;现在，再根据傅里叶变换的性质，可以得出:

$$x_s(t) = x(t)S(t) \\ \mathcal{F}[x_s(t)] = \mathcal{F}[x(t)]*\mathcal{F}[S(t)] =\\ K\mathcal{F}[x(t)] * \sum\delta(w-w_s) = K\sum x(w-nw_s)$$

上式中，K表示缩放系数。
这个结果表明了，时域的采样等于频域的周期化。这里有两个重要的结论：

1. 对于非带限信号，其频域周期化后一定存在混叠，故而不可能恢复
2. 对于带限信号，要避免混叠， 必须要满足$-w_c + w_s > w_c$ 即 $w_s>2w_c$，采样频率必须是信号带宽的2倍