非周期信号的傅里叶变换

时间连续非周期信号

我们前面讨论的都是周期信号:

\[f(t)=f(t+T) \]

其傅里叶级数的基频率\(\omega_0=2\pi f = \frac{2\pi}{T}\), 由信号的周期T决定。假设其傅里叶级数展开是频率\(\omega\)的函数，那么可见其展开式只有\(\omega = n\omega_0\)时有分布，即其频域(函数)是离散的

傅里叶变换针对于非周期函数，非周期函数可以看做周期\(T \rightarrow \infty\), 此时其基频率\(\omega \rightarrow 0\), 原先的求和公式，可以写作积分

前面的文档中，得出周期信号的傅里叶级数表达：

\[ f(t) = \sum_{-\infty}^{\infty}{[A_ne^{jn\omega_0 t}]} \\ A_n = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}[f(t)e^{-jn\omega_0t}]dt = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}[f(t)e^{-jn\omega_0t}]dt \\ w_0 = \frac{2\pi}{T} = \Delta \Omega \]

当\(T\rightarrow \infty\), \(\omega_0 \rightarrow 0\),\(n\omega_0 \rightarrow \Omega\), 其中\(\Omega\)是一个连续变量，整理上式有:

\[f(t)=\lim_{T\rightarrow \infty}\lbrace \sum_{-\infty}^{\infty} {\frac{w_0}{2\pi}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}[f(t)e^{-jn\omega_0t}]dt e^{jn\omega_0 t}} \rbrace \\ = \lim_{\omega_0\rightarrow 0}\lbrace \sum_{-\infty}^{\infty} {\frac{w_0}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}[f(t)e^{-jn\omega_0t}]dt e^{jn\omega_0 t}} \rbrace = \\ \lim_{\omega_0\rightarrow 0}\lbrace \sum_{-\infty}^{\infty} {\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}[f(t)e^{jn\omega_0t}]dt e^{-jn\omega_0 t}}\Delta \Omega \rbrace = \\ \lbrace {\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}[f(t)e^{-j\Omega t}]dt e^{j\Omega t}} d\Omega\rbrace \quad\quad (1) \]

(1)中的系数:

\[F(\Omega) = \int_{-\infty}^{\infty}[f(t)e^{-j\Omega t}]dt \]

称作函数\(f(t)\)的傅里叶变换，\(F(\Omega)\)反映了\(f(t)\)的频谱分布情况