时间连续非周期信号
我们前面讨论的都是周期信号:
f(t)=f(t+T)
其傅里叶级数的基频率ω0=2πf=2πT, 由信号的周期T决定。假设其傅里叶级数展开是频率ω的函数,那么可见其展开式只有ω=nω0时有分布,即其频域(函数)是离散的
傅里叶变换针对于非周期函数,非周期函数可以看做周期T→∞, 此时其基频率ω→0, 原先的求和公式,可以写作积分
前面的文档中,得出周期信号的傅里叶级数表达:
f(t)=∞∑−∞[Anejnω0t]An=1T∫T0[f(t)e−jnω0t]dt=1T∫T2−T2[f(t)e−jnω0t]dtw0=2πT=ΔΩ
当T→∞, ω0→0,nω0→Ω, 其中Ω是一个连续变量,整理上式有:
f(t)=limT→∞{∞∑−∞w02π∫T2−T2[f(t)e−jnω0t]dtejnω0t}=limω0→0{∞∑−∞w02π∫∞−∞[f(t)e−jnω0t]dtejnω0t}=limω0→0{∞∑−∞12π∫∞−∞[f(t)ejnω0t]dte−jnω0tΔΩ}={12π∫∞−∞∫∞−∞[f(t)e−jΩt]dtejΩtdΩ}(1)
(1)中的系数:
F(Ω)=∫∞−∞[f(t)e−jΩt]dt
称作函数f(t)的傅里叶变换,F(Ω)反映了f(t)的频谱分布情况
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