非周期信号的傅里叶变换

时间连续非周期信号

我们前面讨论的都是周期信号:

$$f(t)=f(t+T)$$

其傅里叶级数的基频率$\omega_0=2\pi f = \frac{2\pi}{T}$, 由信号的周期T决定。假设其傅里叶级数展开是频率$\omega$的函数，那么可见其展开式只有$\omega = n\omega_0$时有分布，即其频域(函数)是离散的

傅里叶变换针对于非周期函数，非周期函数可以看做周期$T \rightarrow \infty$, 此时其基频率$\omega \rightarrow 0$, 原先的求和公式，可以写作积分

前面的文档中，得出周期信号的傅里叶级数表达：

$$f(t) = \sum_{-\infty}^{\infty}{[A_ne^{jn\omega_0 t}]} \\ A_n = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}[f(t)e^{-jn\omega_0t}]dt = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}[f(t)e^{-jn\omega_0t}]dt \\ w_0 = \frac{2\pi}{T} = \Delta \Omega$$

当$T\rightarrow \infty$, $\omega_0 \rightarrow 0$,$n\omega_0 \rightarrow \Omega$, 其中$\Omega$是一个连续变量，整理上式有:

$$f(t)=\lim_{T\rightarrow \infty}\lbrace \sum_{-\infty}^{\infty} {\frac{w_0}{2\pi}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}[f(t)e^{-jn\omega_0t}]dt e^{jn\omega_0 t}} \rbrace \\ = \lim_{\omega_0\rightarrow 0}\lbrace \sum_{-\infty}^{\infty} {\frac{w_0}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}[f(t)e^{-jn\omega_0t}]dt e^{jn\omega_0 t}} \rbrace = \\ \lim_{\omega_0\rightarrow 0}\lbrace \sum_{-\infty}^{\infty} {\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}[f(t)e^{jn\omega_0t}]dt e^{-jn\omega_0 t}}\Delta \Omega \rbrace = \\ \lbrace {\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}[f(t)e^{-j\Omega t}]dt e^{j\Omega t}} d\Omega\rbrace \quad\quad (1)$$

(1)中的系数:

$$F(\Omega) = \int_{-\infty}^{\infty}[f(t)e^{-j\Omega t}]dt$$

称作函数$f(t)$的傅里叶变换，$F(\Omega)$反映了$f(t)$的频谱分布情况