前置知识

部分内容摘自 OI-Wiki

排列

由 $1,2,\dots ,n$ 组成的有序数组称为 $1,2,\dots ,n$ 的排列。前 $n$ 个正整数的不同排列有 $n!$ 个。

如果排列的逆序对个数是奇数，那么这是一个奇排列；如果排列的逆序对个数是偶数，那么这是一个偶排列。

置换

一个有限集合 $S$ 到自身的双射（即一一对应）称为 的一个置换。集合 $S=\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}$ 上的置换可以表示为

其中 $p_1,p_2,\dots ,p_n$ 是 $1,2,\dots ,n$ 的一个排列。

对换

把 $1,2,\dots ,n$ 的排列中，任意两个不同数 $i$ 和 $j$ 交换，得到一个新的排列，这叫做一个对换，用 $(i,j)$ 表示。

性质

• 一个排列一定能通过若干次对换转换成另一个排列。
• 一次对换会改变排列的奇偶性。

矩阵行列式

定义

对于一个矩阵：$A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{1,1}& \cdots & a_{1,n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n,1}& \cdots & a_{n,n}\end{array}\right]$，定义它的行列式为：

其中，$p$ 表示 $1,2,\dots ,n$ 的一个排列，$\pi (p)$ 表示排列的逆序对个数。

性质

部分内容摘自 数学(5)——线性代数：行列式 - 洛谷专栏 (luogu.com.cn)。

转置矩阵行列式不变（1）

矩阵 $A$ 的转置矩阵为 $A^T$，其中 $A_{i,j}=A_{j,i}^T$。

原因是排列 $p_1,p_2,\dots ,p_n$ 的奇偶性和 $p_1^{\prime },p_2^{\prime },\dots ,p_n^{\prime }$（满足 $p_{p_i}^{\prime }=i$ 的排列） 的奇偶性相同。

交换矩阵的两行（列），行列式取反（2）

原因是对原先枚举的排列 $p$ 进行一次对换，其奇偶性改变。

对于列的证明，因为转置矩阵行列式不变，所以证明了行的性质也就证明了列的性质。

矩阵一行（列）所有元素同乘一个数，行列式也乘以这个数（3）

表示为 $det\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ k{a}_{i,1}& k{a}_{i,2}& \cdots & k{a}_{i,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \cdots & a_{n,n}\end{array}\right]=k\times det\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{i,1}& a_{i,2}& \cdots & a_{i,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \cdots & a_{n,n}\end{array}\right]$。

如果矩阵 $A$ 中某一行是（列）矩阵 $B$ 和矩阵 $C$ 中对应行（列）的所有元素之和，那么 $det(A)=det(B)+det(C)$（4）

表示为 $det\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{i,1}+c_{i,1}& b_{i,2}+c_{i,2}& \cdots & b_{i,n}+c_{i,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \cdots & a_{n,n}\end{array}\right]=det\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{i,1}& b_{i,2}& \cdots & b_{i,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \cdots & a_{n,n}\end{array}\right]+det\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ c_{i,1}& c_{i,2}& \cdots & c_{i,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \cdots & a_{n,n}\end{array}\right]$

如果矩阵中某两行（列）成比例，那么其行列式为 $0$（5）

表示为 $det\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{i,1}& a_{i,2}& \cdots & a_{i,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ k{a}_{i,1}& k{a}_{i,2}& \cdots & k{a}_{i,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \cdots & a_{n,n}\end{array}\right]=0$

可以这样理解：把上面的第 $i$ 行所有元素乘 $k$，于是得到相同的两行，交换这两行，矩阵不变，行列式不变；但因为交换了两行，所以啊行列式取反，因此行列式为 $0$。

矩阵中一行（列）每个元素减去另一行（列）对应元素的若干倍，行列式不变（6）

表示为 $det\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{i,1}& a_{i,2}& \cdots & a_{i,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{j,1}& a_{j,2}& \cdots & a_{j,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \cdots & a_{n,n}\end{array}\right]=det\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{i,1}& a_{i,2}& \cdots & a_{i,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{j,1}+k{a}_{i,1}& a_{j,2}+k{a}_{i,2}& \cdots & a_{j,n}+k{a}_{i,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \cdots & a_{n,n}\end{array}\right]$。

利用性质（4）：$det\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{i,1}& a_{i,2}& \cdots & a_{i,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{j,1}& a_{j,2}& \cdots & a_{j,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \cdots & a_{n,n}\end{array}\right]=det\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{i,1}& a_{i,2}& \cdots & a_{i,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{j,1}& a_{j,2}& \cdots & a_{j,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \cdots & a_{n,n}\end{array}\right]+det\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{i,1}& a_{i,2}& \cdots & a_{i,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ k{a}_{i,1}& k{a}_{i,2}& \cdots & k{a}_{i,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n,1}& a_{n,2}& \cdots & a_{n,n}\end{array}\right]$。

最右边的矩阵第 $i$ 行和第 $j$ 行成比例，因此行列式为 $0$，由此得证。

上三角矩阵行列式为对角线的乘积（7）

其中上三角矩阵中指的是，只有在 $i\le j$ 的时候第 $i$ 行第 $j$ 列才有值，反之值为 $0$。

可以根据行列式的定义理解，只有当所有 $p_i=i$ 的时候后面的连乘才不是 $0$。

同样，对于只有在 $i\ge j$ 的时候第 $i$ 行第 $j$ 列有值的下三角矩阵来说，其行列式也为对角线的乘积。

计算

利用性质（6），可以把矩阵像高斯消元一样转换成上三角矩阵，然后根据性质（7）求值。

当模数为质数的时候可以直接高斯消元：

for(i=1;i<=n;++i) {
    if(!a[i][i]) {
        for(j=i+1;j<=n;++j) if(a[j][i]) { k=i; break; }
        flag^=1,swap(a[i],a[k]);
    }
    Mul(ans,a[i][i]);
    inver=inv(a[i][i]);
    for(j=i+1;j<=n;++j) {
        muler=mul(inver,a[j][i]);
        for(k=i;k<=n;++k)
            Sub(a[j][k],mul(a[i][k],muler));
    }
}
if(flag) Mul(ans,moder-1);

但是当模数不是质数的时候，可能会出现 $a_{i,i}$ 没有逆元的情况，这个时候就要用类似辗转相除法的方法来消元：

for(i=1;i<=n;++i) {
    if(!a[i][i]) {
        for(j=i+1;j<=n;++j) if(a[j][i]) { k=i; break; }
        flag^=1,swap(a[k],a[i]);
    }
    for(j=i+1;j<=n;++j) {
        if(a[i][i]>a[j][i])
            flag^=1,swap(a[j],a[i]);
        while(a[j][i]) {
            flag^=1,swap(a[j],a[i]);
            muler=moder-a[j][i]/a[i][i];
            for(k=i;k<=n;++k)
                a[j][k]=(a[j][k]+muler*a[i][k])%moder;
        }
    }
    ans=ans*a[i][i]%moder;
}
if(flag) ans=(moder-ans)%moder;