用来求和一个图的生成树个数相关的算法，时间复杂度 $O(n^3)$。

你要会求一个矩阵的行列式，这是 和行列式有关的前置知识。

定理阐述

对于无向图

定义度数矩阵 $D_{i,j}=[i=j]{\mathrm{deg}}_i$，其中 ${\mathrm{deg}}_i$ 表示 $i$ 的度数。

定义邻接矩阵为 $E_{i,j}$ 为边 $(i,j)$ 的个数。

定义 Kirchhoff 矩阵为 $L=D-E$，则把 $L$ 去掉第 $i$ 行和第 $i$ 列（$i$ 是这棵树的根，因为是无向图，所以随意），这个无向图的生成树个数为剩下矩阵的行列式。

对于内向生成树

定义度数矩阵 $D_{i,j}=[i=j]{\mathrm{deg}}_i$，其中 ${\mathrm{deg}}_i$ 表示 $i$ 的出度。

定义邻接矩阵为 $E_{i,j}$ 为边 $(i,j)$ 的个数。

定义 Kirchhoff 矩阵为 $L=D-E$，则把 $L$ 去掉第 $i$ 行和第 $i$ 列（$i$ 是这棵树的根），这个无向图的生成树个数为剩下矩阵的行列式。

对于外向生成树

定义度数矩阵 $D_{i,j}=[i=j]{\mathrm{deg}}_i$，其中 ${\mathrm{deg}}_i$ 表示 $i$ 的如度。

定义邻接矩阵为 $E_{i,j}$ 为边 $(i,j)$ 的个数。

定义 Kirchhoff 矩阵为 $L=D-E$，则把 $L$ 去掉第 $i$ 行和第 $i$ 列（$i$ 是这棵树的根），这个无向图的生成树个数为剩下矩阵的行列式。

利用行列式性质的证明

只证明无向图的情况，对于内向生成树和外向生成树的情况是类似的。

行列式：$det(A)=\sum _{p_{1,2\dots n}}(-1{)}^{\pi (p)}\prod _{i=1}^n{a}_{i,p_i}$。

钦定父亲，也就是行列式里枚举的排列，后面的连乘数值上这种情况的方案数，当 $p_i=i$ 时表示点 $i$ 可以随便选父亲，因此有度数种情况。

如果出现了环，假设长度为 $k$，那么这个环对 $(-1{)}^{\pi (p)}$ 的影响是 $(-1{)}^{k-1}$ 的。但由于 Kirchhoff 矩阵为 $L=D-E$，边权乘了 $-1$，所以它实际上对系数的影响是 $(-1{)}^{2k-1}=-1$。

一个环对系数的影响是 $-1$，可以看作容斥系数，所以行列式的值就是生成树的个数。

BEST 定理

对于一个有向欧拉图，不同的欧拉回路个数是所有点入度减一的阶乘的乘积，乘以内向生成树的个数。