GMOJ 8127. 【2022.10.22联考noip模拟】一切大师

给你 $L \leq 10^{6}$ ， $x, y \leq 100$ ，要求 $\sum_{l c m (a, b) \leq L} | a x - b y |$ 。

喜闻乐见的推式子：

\begin{aligned} \sum_{l c m (a, b) \leq L} | a x - b y | \\ = \sum_{d = 1}^{L} d \sum_{a = 1}^{⌊ \frac{L}{d} ⌋} \sum_{b = 1}^{⌊ \frac{L}{d a} ⌋} [gcd (i, j) = 1] | a x - b y | （ d 是 a 和 b 的 gcd ） \\ = \sum_{d = 1}^{L} d \sum_{a = 1}^{⌊ \frac{L}{d} ⌋} \sum_{b = 1}^{⌊ \frac{L}{d a} ⌋} \sum_{u | i, u | j} μ (u) | a x - b y | （ 莫 反 ） \\ = \sum_{d = 1}^{L} d \sum_{u = 1}^{⌊ \frac{L}{d} ⌋} μ (u) u \sum_{a = 1}^{⌊ \frac{L}{d u^{2}} ⌋} \sum_{b = 1}^{⌊ \frac{L}{d u^{2} a} ⌋} | a x - b y | （ 改 变 枚 举 顺 序 ） \\ = \sum_{T = 1}^{L} \sum_{u^{2} | T} μ (u) u \frac{T}{u^{2}} \sum_{a = 1}^{⌊ \frac{L}{T} ⌋} \sum_{b = 1}^{⌊ \frac{L}{T a} ⌋} | a x - b y | （ 令 T = d u^{2} ） \\ = \sum_{T = 1}^{L} (\sum_{u^{2} | T} μ (u) \frac{T}{u}) (\sum_{a = 1}^{⌊ \frac{L}{T} ⌋} \sum_{b = 1}^{⌊ \frac{L}{T a} ⌋} | a x - b y |) （ 整 理 ） \end{aligned}

其中，对于每一个 $T$ ，前一个括号可以通过一开始从小到大枚举 $u$ 贡献到 $T$ 预处理出来，时间复杂度 $\sum_{u = 1}^{L} O (\frac{n}{i^{2}}) < O (n \ln n)$ ；后一个括号相当于求 $\sum_{T = 1}^{L} w_{T} f (\frac{L}{T})$ ，其中 $f (n) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1} \frac{n}{i} | i x - j y |$ ， $w$ 是第一个括号，可以用整除分块做，大概是 $O (n \ln n)$ ，但是跑得很快。

点击开 D

const int N=1e6+99;
ll L,x,y,xi[N]={};
int mu[N]={},su[N]={}; bool flag[N]={};
ll f(int n) {
	int i,j,top; ll ans=0;
	for(i=1;i<=n;++i)
		for(j=1,top=n/i;j<=top;++j)
			ans+=abs(i*x-j*y);
	return ans;
}
int main()
{
	usefile("a");
	ll ans=0,i,j,l,r;
	read(L,x,y);
	flag[1]=true,mu[1]=1;
	for(i=2;i<=L;++i) {
		if(!flag[i]) su[++su[0]]=i,mu[i]=-1;
		for(j=1;j<=su[0]&&i*su[j]<=L;++j) {
			flag[i*su[j]]=true;
			if(i%su[j]==0) {
				mu[i*su[j]]=0; break;
			} else mu[i*su[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for(i=1;i<=L;++i)
		if(mu[i])
			for(j=i*i;j<=L;j+=i*i)
				xi[j]+=mu[i]*j/i;
	for(i=1;i<=L;++i) xi[i]+=xi[i-1];
	for(l=1;l<=L;l=r+1)
		r=L/(L/l),ans+=(xi[r]-xi[l-1])*f(L/l);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}