ABC366 G - XOR Neighbors 题解

发现题目实质上就是让你构造一组 $a_{1, 2, \dots, n}$ ，有一些限制，要求一些 $a$ 异或起来是 $0$ 。

看到 $n \leq 60$ ，果断列异或方程组，用异或高斯消元。

具体地，有 $n$ 个方程组， $a_{i, j}$ 表示第 $i$ 个方程中 $j$ 的系数。对于每一个变量 $i$ ，要把 $j > i$ 的方程中的第 $i$ 项用第 $i$ 个方程异或起来消掉（如果 $a_{i, i} = 0$ 就把一个 $a_{j, i} \neq 0$ 且 $j > i$ 的方程和第 $i$ 个方程交换），因为等号右边是 $0$ 所以可以不用处理。

从后往前构造解，如果 $a_{i, i} = 0$ ，这是可能的，那么就令 $a n s_{i} = 2^{i} - 1$ ；否则，就令 $a n s_{i} = ⨁_{j > i} a n s_{j} \times a_{i, j}$ 。

后一点比较容易理解，前一点不太容易理解，我认为这样子填 $a n s_{i}$ 的话对于 $j < i$ 的 $a n s_{j}$ 的第 $i$ 位反映的是 $a n s_{i}$ 对 $a n s_{j}$ 是否有影响，如果 $a n s_{j} = 0$ ， $a n s_{j}$ 的第 $i$ 位一定是 $0$ ，这样子 $a n s_{i}$ 对 $a n s_{j}$ 没有影响，这样子 $a n s_{j}$ 是 $0$ 这件事就和 $a n s_{i}$ 无关的。类似的，可以发现这和每一个填 $a n s_{i} = 2^{i} - 1$ 的 $a n s_{i}$ 都没有关系，那么只能说明 $a n s_{j} = 0$ 是命中注定的，该局面无解。

事实上有人在 $a_{i, i} = 0$ 时填 rand 也过了。

如果存在一个 $a n s_{i} = 0$ ，那么一定无解。

点击开 D

const int N=65;
int n,m,a[N][N]={};
ll ans[N]={};
int main()
{
//	usefile("G");
	int i,j,k,x,y;
	read(n,m);
	for(i=1;i<=m;++i)
		read(x,y),a[x][y]^=1,a[y][x]^=1;
	for(i=1;i<=n;++i) {
		if(!a[i][i]) {
			for(j=i+1;j<=n;++j)
				if(a[j][i]) {
					swap(a[i],a[j]);
					break;
				}
		}
		if(!a[i][i]) continue;
		for(j=i+1;j<=n;++j)
			if(a[j][i]) {
				for(k=1;k<=n;++k)
					a[j][k]^=a[i][k];
			}
	}
	for(i=n;i;--i) {
		if(!a[i][i]) {
			ans[i]=(1ll<<i)-1;
			continue;
		}
		ans[i]=0;
		for(j=i+1;j<=n;++j)
			if(a[i][j])
				ans[i]^=ans[j];
	}
	for(i=1;i<=n;++i)
		if(!ans[i]) {
			printf("No\n");
			return 0;
		}
	printf("Yes\n");
	for(i=1;i<=n;++i)
		printf("%lld ",ans[i]);
	printf("\n");
	return 0;
}