四旋翼姿态解算之理论推导

今天转载一篇我们队长写的关于四旋翼的博客！

转载声明：转自http://www.cnblogs.com/xuhongbin/p/6538345.html

四旋翼姿态解算——基础理论及推导

对于每个像我一样入坑四轴飞行器不久的新手来说，最初接触也颇为头疼的东西之一就是四轴的姿态解算。由于涉及较多的数学知识，很多人也是觉得十分头疼。所以，我在这里分享一些我学习过程中的笔记和经验，以便大家学习。

两个坐标系：
首先，在一个姿态航向参考系统（简称AHRS）中，我们要定义两个坐标系：导航坐标系 n 和载体坐标系 b 。导航坐标系 n 指的是以地球为参考的坐标系，定义为东北天右手直角坐标系；载体坐标系 b 则是以四轴飞行器自身为参考的坐标系，也定义为右手直角坐标系，取飞机向前的方向为 Y 轴正方向，取飞机向右的方向为X轴正方向，取飞机向上的方向为Z轴正方向。
这里写图片描述

四元数、欧拉角、方向余弦：
在百度百科中，欧拉角是这样被描述的：用来确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量，由章动角θ、旋进角（即进动角）ψ和自转角j组成，为欧拉首先提出而得名。简单点来说，就是：绕Z轴旋转为偏航角（YAW）ψ，绕Y轴旋转为横滚角（ROLL）θ，绕X轴旋转为俯仰角（PITCH）φ。

绕Z轴旋转ψ角（YAW）：
这里写图片描述

定义导航坐标系 n 中某一点的坐标为（x，y，z），使用矩阵表示为：这里写图片描述。设该点在载体坐标系中坐标为（x’，y’，z’），使用矩阵表示为：。对于该任意点，易得到两个坐标系下坐标之间的关系：。
表示成矩阵的形式如下：

同理可得：
绕Y轴旋转θ角（ROLL）：
这里写图片描述
两个坐标系下的转换关系：

绕X轴旋转φ角（PITCH）：
这里写图片描述
两个坐标系下的转换关系：

由前面的结论可以得到进过三个欧拉角的旋转，得到导航坐标系下的向量这里写图片描述与旋转后的载体坐标系下的向量之间的关系：

给出由到的坐标变换矩阵：。
所以可以得到用欧拉角表示的坐标变换矩阵：

这样我们就得到了使用欧拉角表示的坐标变换矩阵，这个公式先放在这里，等会再用。

接下来我们来看看四元数：
先看看百度百科中对四元数概念的介绍：（四元数-百度百科链接：http://baike.baidu.com/link?url=oQzRKzHEoKP6SgD9_qhBZKmsTU5NgSLqtxg4pXtw2hN0dXJQ9v9m11aNVW_M64b7vCeQ_9VNsKXQSnl2rR_FK0NVvGKcIF05d-N2_R9vQ0SLtrzKx9WQ19hHUvbYmd1z）
四元数是简单的超复数。复数是由实数加上虚数单位 i 组成，其中i^2 = -1。相似地，四元数都是由实数加上三个虚数单位 i、j、k 组成，而且它们有如下的关系： i^2 = j^2 = k^2 = -1， i^0 = j^0 = k^0 = 1 , 每个四元数都是 1、i、j 和 k 的线性组合，即是四元数一般可表示为a + bk+ cj + di，其中a、b、c 、d是实数。
对于i、j、k本身的几何意义可以理解为一种旋转，其中i旋转代表X轴与Y轴相交平面中X轴正向向Y轴正向的旋转，j旋转代表Z轴与X轴相交平面中Z轴正向向X轴正向的旋转，k旋转代表Y轴与Z轴相交平面中Y轴正向向Z轴正向的旋转，-i、-j、-k分别代表i、j、k旋转的反向旋转。

这里已经讲得比较清楚了，我们可以把四元数看成一个常数加上一个三维矢量，即这里写图片描述

四元数的乘法运算：
对于任意一个四元数这里写图片描述来说，q0、q1、q2、q3都是实数，i、j、k为互相正交的单位向量，也是虚单位。
满足乘法关系如下：
四元数乘法关系表
举例：
假设有两个四元数，和。
则这两个四元数相乘结果为：

将上面的运算表示成矩阵形式：
设两个四元数Q和P的乘积为四元数公式15 。
则有：
这里写图片描述
或者
从M(Q)中，第一列为四元数Q本身，第一行为四元数Q的共轭的转置，不管第一行和第一列，我们可以提取出一个3*3的矩阵VQ，称其为M(Q)的核。

同理可得，M(P)的核VP：

四元数的相关知识的准备差不多完成了，下面开始推导四元数的公式：
我们定义一个四元数这里写图片描述，用来表示从导航坐标系n和载体坐标系b之间的旋转变换：

代入求得：

可以得到旋转矩阵的数学关系：

到这里我们就推出了使用四元数表示的旋转矩阵这里写图片描述：

前面使用欧拉角也导出了一个旋转矩阵：

联立两者对应项相等，求解方程组即可。解方程的步骤就省略了，直接写出结果。
令
推出结果：
前面我们用欧拉角推导出来的旋转矩阵也可以叫做方向余弦矩阵（DCM），使用的是Z-Y-X顺规，不做赘述，有兴趣可以再去查找相关资料。
这里我们代入方向余弦矩阵对应项的值求出欧拉角与四元数的关系，并做一些三角函数的变换整理得到下面的形式：
这里写图片描述
上式是欧拉角用表示四元数的公式。
还是由方向余弦矩阵（DCM）可以得到：

这四个公式的意义是，给出了四元数与欧拉角之间的关系，我们可以很方便地使用这几个公式将欧拉角与四元数相互转换。还需要注意一点，因为方向余弦矩阵的定义不同，对应的欧拉角旋转方式不同，公式也会不同。