割点和桥

割点和桥
割点：无向图中，如果删除某个点以及和它相邻的所有边之后，图中连通分量数增加，则称该点为割点

桥：无向图中，如果删除某条边之后，图中连通分量数增加，则称该边为桥
tarjan算法计算割点和桥
割点：
1.如果节点\(u\)不是根，则当存在一个以\(u\)为根的子树中的节点\(v\)，有\(low[v]>=dfn[u]\)时，说明去掉\(u\)之后会使得\(v\)与\(u\)的祖先节点不连通，\(u\)为割点
2.如果节点\(u\)是根，则当根有多于一棵子树时，根为割点

const int maxn=100010;
int dfn[maxn],low[maxn],cut[maxn],dfscnt;

void tarjan(int u,int fa){
    int child=0;
    dfn[u]=low[u]=++dfscnt;
    for(int i=head[u];~i;i=nxt[i]){
        int v=to[i];
        if(!dfn[v]){
            child++;
            tarjan(v,u);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
            if(fa!=-1 && low[v]>=dfn[u]) cut[u]=1;
            if(fa==-1 && child>=2) cut[u]=1;
        }
        else if(v!=fa){
            low[u]=min(low[u],dfn[v]);
        }
    }
}

模板题：hdu1269 迷宫城堡

桥：
1.对于节点\(u\)，如果存在一个子节点\(v\)，有\(low[v]>dfn[u]\)，说明删除\(u\)和\(v\)之间的边之后，\(v\)无法和\(u\)及其的祖先节点连通，所以\(u\)和\(v\)之间的边为桥
2.重边一定不是桥，判断一条边是否为桥的时候需要判断是否有重边

const int maxn=1010,maxm=2000010;
int dfn[maxn],low[maxn],dfscnt,ans;
int edge_cnt[maxn][maxn];
vector<PII> bridge;

void tarjan(int u,int fa){
    dfn[u]=low[u]=++dfscnt;
    for(int i=head[u];~i;i=nxt[i]){
        int v=to[i],w=weight[i];
        if(!dfn[v]){
            tarjan(v,u);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
            if(low[v]>dfn[u] && edge_cnt[u][v]==1) bridge.push_back({u,v});
        }
        else if(v!=fa){
            low[u]=min(low[u],dfn[v]);
        }
    }
}

模板题：hdu4738 Caocao's Bridges
割点和桥的关系
1.有割点不一定存在桥，有桥一定存在割点
2.桥一定是连接割点的边