2-SAT

2-SAT
给定一个布尔方程，判断是否存在一组布尔变量的真值指派使得整个方程为真的问题，称为布尔方程的可满足性问题（SAT）
合取范式：\((a\bigvee b\bigvee \cdots)\bigwedge (c\bigvee d\bigvee \cdots)\bigwedge \cdots\)
其中\(a,b\)称为文字，是一个布尔变量或其否定。符号\(\bigvee\)连接的部分称为子句。如果合取范式每个子句中的文字个数都不超过两个，则对应的SAT问题称为2-SAT问题
虽然SAT问题是NP完全的，但是2-SAT问题可以通过强连通分量，在布尔公式子句数的线性时间内解决。
求解方法
首先，通过逻辑表达式蕴含（\(\Rightarrow\)）将每个子句\((a\bigvee b)\)转换成等价形式\((\lnot a\Rightarrow b \bigwedge \lnot b \Rightarrow a)\)，这样原来的布尔表达式就变成了将\(a\Rightarrow b\)形式使用\(\bigwedge\)连接起来的形式
对于每个布尔变量，设置两个顶点\(a\)和\(\lnot a\)，以\(\Rightarrow\)为边建立有向图。如果从图上的\(a\)点能够到达\(b\)点，表示\(a\)为真时\(b\)也一定为真，如果同时满足从\(b\)点能够到达\(a\)点，表示\(b\)为真时\(a\)也一定为真，所以一个强连通分量内的点布尔值相同
所以如果对于任意一个布尔变量，\(x\)和\(\lnot x\)在同一个强连通分量中，则无法使得整个布尔公式为真。否则，对于每个布尔变量\(X\)，如果\(x\)所在的强连通分量的拓扑序在\(\lnot x\)所在的强连通分量的拓扑序之后，则令\(x\)为真，否则令\(x\)为假，这样就可以找到一组布尔变量的值使得整个布尔表达式为真

逻辑表达式蕴含（\(\Rightarrow\))，表示若\(A\)则\(B\)，也就是\(A\)成立时\(B\)必须成立，\(A\)不成立时\(B\)可以成立也可以不成立

\(A\)	\(B\)	\(A\Rightarrow B\)
true	true	true
true	false	false
false	true	true
false	false	true
选择布尔变量\(x\)的布尔值时，由于整个表达式为真，\(x\)和\(\lnot x\)的布尔值相反，从表格中得到只有\(A\)为假\(B\)为真时满足条件。所以如果\(x\)所在强连通分量的拓扑序在\(\lnot x\)所在的强连通分量的拓扑序之后（\(\lnot x\Rightarrow x\)），则令\(x\)为真，否则（\(x\Rightarrow \lnot x\)）令\(x\)为假，可以使得整个布尔表达式为真

德摩根律：\(\lnot{(A\bigwedge B)}=\lnot A \bigvee \lnot B\)
题目中通常给出的是一些矛盾的、不能同时满足的条件，不能直观表现出仅有\(\bigvee\)的形式，但是可以先写出\(\bigwedge\)的形式，再通过德摩根律转化成仅有\(\bigvee\)的形式

模板题：hdu3062 Party