组合数学基础

排列
\(A_{n}^{r}=\frac{n!}{(n-r)!}\)
当\(r>n\)时，\(A_{n}^{r}=0\)
圆排列：\(A_{n}^{r}=\frac{n!}{r(n+1)!}\)
组合
\(C_{n}^{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)
当\(r>n\)时，\(C_{n}^{r}=0\)
二项式定理
\((a+b)^n=\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}a^{n-i}b^{i}\)
特殊的，当\(a=1\)并且\(b=1\)时，得到：\(2^n=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+\cdots+C_{n}^{n}\)，杨辉三角第\(n\)行所有元素之和。
鸽巢原理
将\((n+1)\)个物品放入\(n\)个抽屉中，至少有一个抽屉中有两个物品。
组合数公式
\(C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m}\)。
\(C_{n}^{m+1}=\frac{n-m}{m+1}C_{n}^{m}\)
\(C_{n}^{m}=C_{n-1}^{m}+C_{n-1}^{m-1}\)