01分数规划基本类型

01分数规划
01分数规划就是给出\(n\)个二元组\((v_1,w_1),(v_2,w_2),\cdots,(v_n,w_n)\)，选出具有\(k\)个元素的集合\(S\)，使得\(\frac{\sum_{i\in S}v_i}{\sum_{i\in S}w_i}\)最大（或者最小）。
求解的基本方法是二分答案。
判断是否存在集合\(S\)，使得\(\frac{\sum_{i\in S}v_i}{\sum_{i\in S}w_i}\geq x\)
也就是\(\sum_{i\in S}v_i-x*\sum_{i\in S}w_i\geq 0\)
即为\(\sum_{i\in S}(v_i-x*w_i)\geq 0\)
因此，将所有元素按照\((v_i-x*w_i)\)的值从大到小排序，贪心选取前\(k\)个，判断是否大于等于零，从而判断当前答案是否可行。
每次判断的时间复杂度\(O(n\log n)\)，总的时间复杂度\(O(n\log n\log m)\)，\(m\)表示二分的范围。
最优比率生成树
无向图中的每一条边\(i\)都有花费\(c_i\)和权值\(s_i\)，从中选出边集\(S\)构成一棵生成树，使得\(\frac{\sum_{i\in S}c_i}{\sum_{i\in S}s_i}\)最小。
和01分数规划类似，二分答案。
\(\frac{\sum_{i\in S}c_i}{\sum_{i\in S}s_i}\leq x\)
\(\sum_{i\in S}(c_i-x*s_i)\leq 0\)
每次将每一条边的边权设为\((c_i-x*s_i)\)，通过\(prime\)算法求出最小生成树，判断最小生成树的总权值是否小于等于零，从而判断当前答案是否可行。
最优比率环
有向图中每个点有点权\(w_i\)，每条边有边权\(s_j\)，从中选出一个环，集合\(S\)中的元素为环中每个点权和对应入边边权组成的二元组，使得\(\frac{\sum_{k\in S}w_k}{\sum_{k\in S}s_k}\)最大。
同样类似于01分数规划，二分答案。
\(\frac{\sum_{k\in S}w_k}{\sum_{k\in S}s_k}\geq x\)
\(\sum_{k\in S}(w_k-x*s_k)\geq 0\)
改成小于等于零的形式：
\(\sum_{k\in S}(x*s_k-w_k)\leq 0\)
这样可以使用SPFA判断是否存在负环，从而判断当前答案是否可行。