逆元

如果存在正整数\(x\)，使得对于给定的\(a\)和\(m\)，\(ax\equiv 1(mod\quad m)\)成立，则称\(x\)是\(a\)在模\(m\)意义下的逆元，记作\(a^{-1}\)。
逆元可以用来求解线性同余方程\(ay\equiv b(mod\quad m)\)，假设\(a\)在模\(m\)意义下的逆元存在，那么方程两边同时乘上\(a^{-1}\)，则\(y=a^{-1}b\)。
扩展欧几里得算法求逆元
由于方程\(ax\equiv 1(mod\quad m)\)等价于存在正整数\(k\)，使得\(ax=km+1\)，也就是\(ax-km=1\)，所以这个问题可以使用exgcd求解。
同时，如果\(gcd(a,m)\neq 1\)，可以知道此时的逆元是不存在的。

int inv(int a,int m){
    int x,y;
    exgcd(a,m,x,y);
    return (m+x%m)%m;
}

费马小定理求逆元
根据费马小定理中\(gcd(a,p)=1\)的情况，\(a^{p-1}\equiv 1(mod\quad p)\)，也就是\(a*a^{p-2}\equiv 1(mod\quad p)\)，所以\(a^{-1}=a^{p-2}(mod\quad p)\)，因此可以通过快速幂求出逆元。
在模数不是素数的情况下，可以类似地使用欧拉定理求解逆元。