费马小定理与欧拉定理

费马小定理
如果\(p\)是质数，则对于任意整数\(a\)都有\(a^p\equiv a(mod\ p)\)。这个定理称作费马小定理。
其中，\(gcd(a,p)=1\)的情况更常见：
若\(p\)为质数，并且\(gcd(a,p)=1\)，那么就有：

\[a^{p-1}\equiv 1(mod\ p) \]

证明：
设集合\(A=\{ 1,2, \cdots ,p-1\}\)，集合\(B=\{ a\% p,2a\% p,\cdots,(p-1)a\% p\}\)
下面证明集合\(A\)和集合\(B\)等价
由于集合\(A\)和集合\(B\)中的元素个数相同，所有元素都小于\(p\)并且不为零，所以只要证明集合\(B\)中的元素两两不同就可以了
对于集合\(B\)中的任意两个元素\(k_1a,k_2a\)，假设\(k_1>k_2\)
那么证明集合\(B\)中的元素两两不同，等价于证明\((k_1a-k_2a)\not\equiv 0(mod\ p)\)
也就是\(p\nmid (k_1-k_2)a\)
由于\(a\)和\(p\)互质，所以只要证明\(p\nmid (k_1-k_2)\)
由于\(k_1,k_2<p\)并且\(k_1>k_2\)，所以\((k_1-k_2)<p\)
由于\(p\)是质数，所以有：
\(p\nmid (k_1-k_2)\)
所以集合\(A\)和集合\(B\)等价
也就有：
\(1*2*\cdots *(p-1)\equiv a\% p*2a\% p*\cdots *(p-1)a\% p(mod\ p)\)
即为：
\((p-1)!\equiv (p-1)!*a^{p-1}(mod\ p)\)
由于\((p-1)!\)与\(p\)互质，所以有：
\(a^{p-1}\equiv 1(mod\ p)\)
欧拉定理
\(\forall a,m\)，若\(gcd(a,m)=1\)，则有：

\[a^{\varphi(m)}\equiv 1(mod\ m) \]

欧拉定理的证明方法与费马小定理类似
证明：
设集合\(A=\{ x|gcd(x,m)=1\}\)，集合\(B=\{ ax\% m|gcd(x,m)=1\}\)
下面证明集合\(A\)和集合\(B\)等价，也就是证明集合\(B\)中的元素两两不同
对于集合\(B\)中的任意两个元素\(ak_1,ak_2\)，假设\(k_1>k_2\)
那么证明集合\(B\)中的元素两两不同，等价于证明\((ak_1-ak_2)\not\equiv 0(mod\ m)\)
也就是\(m\nmid a(k_1-k_2)\)
由于\(a\)和\(p\)互质，所以只要证明\(m\nmid (k_1-k_2)\)
由于\(k_1,k_2<m\)并且\(k_1>k_2\)，所以\((k_1-k_2)<m\)
由于\(p\)是质数，所以有：
\(m\nmid (k_1-k_2)\)
所以集合\(A\)和集合\(B\)等价
也就有：
\(x_1*x_2*\cdots *x_{\varphi (m)}\equiv ax_1*ax_2*\cdots *ax_{\varphi (m)}(mod\ m)\)
即为：
\(x_1*x_2*\cdots *x_{\varphi (m)}\equiv x_1*x_2*\cdots *x_{\varphi (m)}*a^{\varphi (m)}(mod\ m)\)
由于\(x_1,x_2,\cdots ,x_{\varphi (m)}\)与\(m\)互质，所以有：
\(a^{\varphi (m)}\equiv 1(mod\ m)\)