csapp Day2 Class4 浮点数-2022.05.13

1.二进制分数的表示

0.1111111->1,用1-ε表示，ε越小，数越接近1

对于固定位数存储浮点数，采取移动小数点的方式进行范围与精度的均衡(浮点的来源)

2.浮点数的表示法

IEEE标准754规定了如今浮点数的存储方式

一个二进制浮点数可表示为$$(-1)^{S} M 2^{E}$$

其中S代表符号位，0为正数1为负数

M为尾数，在规格化浮点数中范围是$[1.0~2.0)$，在非规格化浮点数中范围是$(0,1.0)$

E为阶码，作用是给浮点数加权，权重是2的E次幂

而在实际的浮点数保存中，我们将浮点数的位划分为三个字段，分别为S，exp，frac

exp与frac并非是E与M的值，而是依赖于E与M的值

(1)规格化

规格化指exp的位中同时含有0和1的情况

E与exp的关系为$E=exp-Bias$,Bias被称为偏置，值为$2^ {k-1}-1$,k为exp的位数

引入bias的原因是这样可以用无符号整数对指数进行保存，从而在比较中将两个浮点数看成两个无符号整数进行比较

假设exp是8位，则Bias为$2^ {8-1}-1=127$,这样就产生了指数的表示范围:(-126 ~ +127)(exp在规格化浮点数下范围是(1 ~ 254))

M与frac的关系为$M=1+f$，可以理解为f隐藏了以1作为小数点前第一位从而额外获得了一位精度

例:15213的浮点数表示

(2)非规格化

非规格化指exp为0时，此时$E=1-bias,M=f$，非规格化的浮点数可能的数值分布均匀接近0.0

值得注意的是，当exp于frac均为0时，可以得到+0.0与-0.0，它们在某些方面被认为是不同的，其他方面是相同的

(3)特殊值

当exp全为1时出现特殊值。frac全为0时得到的值为无穷，根据s的值又可以分为正无穷与负无穷。当操作结果溢出或者进行了除以0的操作时就会得到无穷。frac不全为0时的值为NaN,即“不是一个数字“。一些运算的结果不能为实数或无穷，就会返回NaN。例如$\sqrt {-1}$或$\infty-\infty$