剑指 Offer 56 - I. 数组中数字出现的次数

如果我们可以把所有数字分成两组，使得：

1. 两个只出现一次的数字在不同的组中；
2. 相同的数字会被分到相同的组中。

那么对两个组分别进行异或操作，即可得到答案的两个数字。这是解决这个问题的关键。

那么如何实现这样的分组呢？

记这两个只出现了一次的数字为 a 和 b，那么所有数字异或的结果就等于 a 和 b 异或的结果，我们记为 x。如果我们把 x 写成二进制的形式 \(x_k x_{k - 1} \cdots x_2 x_1 x_0\)，其中 \(x_i \in \{ 0, 1 \}\)，我们考虑一下 \(x_i = 0\) 和 \(x_i = 1\) 的含义是什么？它意味着如果我们把 a 和 b 写成二进制的形式，\(a_i\) 和 \(b_i\) 的关系——\(x_i = 1\) 表示 \(a_i\) 和 \(b_i\) 不等，\(x_i = 0\) 表示 \(a_i\) 和 \(b_i\) 相等。假如我们任选一个不为 0 的 \(x_i\)，按照第 \(i\) 位给原来的序列分组，如果该位为 0 就分到第一组，否则就分到第二组，这样就能满足以上两个条件，为什么呢？

• 首先，两个相同的数字的对应位都是相同的，所以一个被分到了某一组，另一个必然被分到这一组，所以满足了条件 2。
• 这个方法在 \(x_i = 1\) 的时候 a 和 b 不被分在同一组，因为 \(x_i = 1\) 表示 \(a_i\) 和 \(b_i\) 不等，根据这个方法的定义「如果该位为 0 就分到第一组，否则就分到第二组」可以知道它们被分进了两组，所以满足了条件 1。

在实际操作的过程中，我们拿到序列的异或和 x 之后，对于这个「位」是可以任取的，只要它满足 \(x_i = 1\)。但是为了方便，这里的代码选取的是「不为 0 的最低位」，当然你也可以选择其他不为 0 的位置。

算法

1. 先对所有数字进行一次异或，得到两个出现一次的数字的异或值。
2. 在异或结果中找到任意为 1 的位。
3. 根据这一位对所有的数字进行分组。
4. 在每个组内进行异或操作，得到两个数字。

class Solution {
public:
    vector<int> singleNumbers(vector<int>& nums) {
        int res = 0;
        for (int& x : nums)
            res ^= x;
        
        int k = res & -res;
        int a = 0, b = 0;
        for (int& x : nums)
            if (x & k)
                a ^= x;
            else 
                b ^= x;
        return {a, b};
    }
};