474. 一和零

这道题和经典的背包问题非常相似，但是和经典的背包问题只有一种容量不同，这道题有两种容量，即选取的字符串子集中的 \(0\) 和 \(1\) 的数量上限。

定义三维数组 \(\textit{dp}\)，其中 \(\textit{dp}[i][j][k]\) 表示在前 \(i\) 个字符串中，使用 \(j\) 个 \(0\) 和 \(k\) 个 \(1\) 的情况下最多可以得到的字符串数量。假设数组 \(\textit{str}\) 的长度为 \(l\)，则最终答案为 \(\textit{dp}[l][m][n]\)。

当没有任何字符串可以使用时，可以得到的字符串数量只能是 \(0\)，因此动态规划的边界条件是：当 \(i=0\) 时，对任意 \(0 \le j \le m\) 和 \(0 \le k \le n\)，都有 \(\textit{dp}[i][j][k]=0\)。

当 \(1 \le i \le l\) 时，对于 \(\textit{strs}\) 中的第 \(i\) 个字符串（计数从 \(1\) 开始），首先遍历该字符串得到其中的 \(0\) 和 \(1\) 的数量，分别记为 \(\textit{zeros}\) 和 \(\textit{ones}\)，然后对于 \(0 \le j \le m\) 和 \(0 \le k \le n\)，计算 \(\textit{dp}[i][j][k]\) 的值。

当 \(0\) 和 \(1\) 的容量分别是 \(j\) 和 \(k\) 时，考虑以下两种情况：

如果 \(j < \textit{zeros}\) 或 \(k < \textit{ones}\)，则不能选第 \(i\) 个字符串，此时有 \(\textit{dp}[i][j][k] = \textit{dp}[i - 1][j][k]\)；

如果 \(j \ge \textit{zeros}\) 且 \(k \ge \textit{ones}\)，则如果不选第 \(i\) 个字符串，有 \(\textit{dp}[i][j][k] = \textit{dp}[i - 1][j][k]\)，如果选第 \(i\) 个字符串，有 \(\textit{dp}[i][j][k] = \textit{dp}[i - 1][j - \textit{zeros}][k - \textit{ones}] + 1\)，\(\textit{dp}[i][j][k]\)的值应取上面两项中的最大值。

因此状态转移方程如下：

\[\textit{dp}[i][j][k]=\begin{cases} \textit{dp}[i - 1][j][k], & j<\textit{zeros} ~~ | ~~ k<\textit{ones} \\ \max(\textit{dp}[i - 1][j][k], \textit{dp}[i - 1][j - \textit{zeros}][k - \textit{ones}] + 1), & j \ge \textit{zeros} ~ \& ~ k \ge \textit{ones} \end{cases} \]

最终得到 \(\textit{dp}[l][m][n]\) 的值即为答案。

class Solution {
public:
    int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
        int len = strs.size();
        vector<vector<int>> f(m + 1, vector<int>(n + 1));
        for(int i = 0; i < len; i++)
        {
            int cnt0 = 0, cnt1 = 0;
            string str = strs[i];
            for(auto& t : str)
                if(t == '0') cnt0++;
                else cnt1++;

            for(int j = m; j >= cnt0; j--)
                for(int k = n; k >= cnt1; k--)
                    f[j][k] = max(f[j][k], f[j - cnt0][k - cnt1] + 1);
        }
        return f[m][n];
    }
};