221. 最大正方形

• 暴力复杂度：\(O(n^4)\)
• 前缀和优化：\(O(n^3)\)
• 前缀和+二分优化：\(O(n^2\log n))\)
• 动态规划：\(O(n^2)\)

我们用 \(\textit{dp}(i, j)\) 表示以 \((i,j)\) 为右下角，且只包含 \(1\) 的正方形的边长最大值。如果我们能计算出所有 \(\textit{dp}(i, j)\) 的值，那么其中的最大值即为矩阵中只包含 \(1\) 的正方形的边长最大值，其平方即为最大正方形的面积。

那么如何计算 \(\textit{dp}\) 中的每个元素值呢？对于每个位置 \((i,j)\)，检查在矩阵中该位置的值：

如果该位置的值是 \(0\)，则 \(\textit{dp}(i, j) = 0\)，因为当前位置不可能在由 \(1\) 组成的正方形中；

如果该位置的值是 \(1\)，则 \(\textit{dp}(i, j)\) 的值由其上方、左方和左上方的三个相邻位置的 \(\textit{dp}\) 值决定。具体而言，当前位置的元素值等于三个相邻位置的元素中的最小值加 \(1\)，状态转移方程如下：

\[dp(i, j)=min(dp(i−1, j), dp(i−1, j−1), dp(i, j−1))+1 \]

class Solution {
public:
    int maximalSquare(vector<vector<char>>& matrix) {
        int n = matrix.size(), m = matrix[0].size();
        vector<vector<int>> f(n + 1, vector<int>(m + 1));

        int res = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            for(int j = 1; j <= m; j++)
                if(matrix[i - 1][j - 1] == '1')
                {
                    f[i][j] = min(f[i - 1][j], min(f[i][j - 1], f[i - 1][j - 1])) + 1;
                    res = max(res, f[i][j]);
                }
        
        return res * res;
    }
};
```</int></vector<int></vector<char>