计蒜客 T1227 大盗阿福

解法一

状态表示：

\(f(i,0)\)：表示考虑前\(i\)家商店且不窃取第\(i\)家店铺的情况下所获得的最大价值。

\(f(i,1)\)：表示考虑前\(i\)家商店且窃取第\(i\)家店铺的情况下所获得的最大价值。

状态转移：

\[f(i,0)=\max(f(i-1,0),f(i-1,1)) \\ f(i,1)=f(i-1,0)+w[i] \]

const int N=1e5+10;
int w[N];
int f[N][2];
int n;

int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>n;

        for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i];

        f[1][0]=0;
        f[1][1]=w[1];
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            f[i][0]=max(f[i-1][0],f[i-1][1]);
            f[i][1]=f[i-1][0]+w[i];
        }

        cout<<max(f[n][0],f[n][1])<<endl;
    }
    //system("pause");
    return 0;
}

解法二

如果只有一间房屋，则偷窃该房屋，可以偷窃到最高总金额。如果只有两间房屋，则由于两间房屋相邻，不能同时偷窃，只能偷窃其中的一间房屋，因此选择其中金额较高的房屋进行偷窃，可以偷窃到最高总金额。
如果房屋数量大于两间，应该如何计算能够偷窃到的最高总金额呢？对于第 \(k ~ (k>2)\)间房屋，有两个选项：

1. 偷窃第 \(k\) 间房屋，那么就不能偷窃第 \(k−1\) 间房屋，偷窃总金额为前 \(k−2\) 间房屋的最高总金额与第 \(k\) 间房屋的金额之和。
2. 不偷窃第 \(k\) 间房屋，偷窃总金额为前 \(k−1\) 间房屋的最高总金额。

在两个选项中选择偷窃总金额较大的选项，该选项对应的偷窃总金额即为前 \(k\) 间房屋能偷窃到的最高总金额。

用 \(dp[i]\) 表示前 \(i\) 间房屋能偷窃到的最高总金额，那么就有如下的状态转移方程：

\[dp[i]=\max(dp[i-2]+w[i],dp[i-1]) \]

边界条件为：

\[\begin{cases} \textit{dp}[0] = \textit{nums}[0] & 只有一间房屋，则偷窃该房屋 \\ \textit{dp}[1] = \max(\textit{nums}[0], \textit{nums}[1]) & 只有两间房屋，选择其中金额较高的房屋进行偷窃 \end{cases} \]

最终的答案即为\(\textit{dp}[n-1]\)，其中 \(n\) 是数组的长度。

const int N=1e5+10;
int w[N];
int f[N];
int n;

int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>n;

        for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i];

        f[1]=w[1];
        f[2]=max(w[1],w[2]);
        for(int i=3;i<=n;i++)
            f[i]=max(f[i-2]+w[i],f[i-1]);  // 选或不选
        cout<<f[n]<<endl;
    }
    //system("pause");
    return 0;
}