309. 最佳买卖股票时机含冷冻期
一种常用的方法是将「买入」和「卖出」分开进行考虑：「买入」为负收益，而「卖出」为正收益。在初入股市时，你只有「买入」的权利，只能获得负收益。而当你「买入」之后，你就有了「卖出」的权利，可以获得正收益。显然，我们需要尽可能地降低负收益而提高正收益，因此我们的目标总是将收益值最大化。因此，我们可以使用动态规划的方法，维护在股市中每一天结束后可以获得的「累计最大收益」，并以此进行状态转移，得到最终的答案。
我们用 \(f[i]\) 表示第 \(i\) 天结束之后的「累计最大收益」。根据题目描述，由于我们最多只能同时买入（持有）一支股票，并且卖出股票后有冷冻期的限制，因此我们会有三种不同的状态：
我们目前持有一支股票，对应的「累计最大收益」记为 \(f[i][0]\)；
我们目前不持有任何股票，并且处于冷冻期中（即上笔交易完成后的第一天），对应的「累计最大收益」记为 \(f[i][1]\)；
我们目前不持有任何股票，并且不处于冷冻期中（即上笔交易完成后的第二天），对应的「累计最大收益」记为 \(f[i][2]\)。
如何进行状态转移呢？在第 ii 天时，我们可以在不违反规则的前提下进行「买入」或者「卖出」操作，此时第 ii 天的状态会从第 i-1i−1 天的状态转移而来；我们也可以不进行任何操作，此时第 ii 天的状态就等同于第 i-1i−1 天的状态。那么我们分别对这三种状态进行分析：
对于 \(f[i][0]\)，我们目前持有的这一支股票可以是在第 \(i−1\) 天就已经持有的，对应的状态为 \(f[i-1][0]\)；或者是第 \(i\) 天买入的，那么第 \(i−1\) 天就不能持有股票并且不处于冷冻期中，对应的状态为 \(f[i-1][2]\) 加上买入股票的负收益 \({\it prices}[i]\)。因此状态转移方程为：
对于 \(f[i][1]\)，我们在第 \(i\) 天结束之后处于冷冻期的原因是在当天卖出了股票，那么说明在第 \(i−1\) 天时我们必须持有一支股票，对应的状态为 \(f[i-1][0]\) 加上卖出股票的正收益 \({\it prices}[i]\)。因此状态转移方程为：
对于 \(f[i][2]\)，我们在第 \(i\) 天结束之后不持有任何股票并且不处于冷冻期，说明当天没有进行任何操作，即第 \(i−1\) 天时不持有任何股票：如果处于冷冻期，对应的状态为 \(f[i-1][1]\)；如果不处于冷冻期，对应的状态为 \(f[i-1][2]\)。因此状态转移方程为：
这样我们就得到了所有的状态转移方程。如果一共有 \(n\) 天，那么最终的答案即为：
注意到如果在最后一天（第 \(n−1\) 天）结束之后，手上仍然持有股票，那么显然是没有任何意义的。因此更加精确地，最终的答案实际上是 \(f[n-1][1]\) 和 \(f[n-1][2]\) 中的较大值，即：
细节
我们可以将第 00 天的情况作为动态规划中的边界条件：
在第 \(0\) 天时，如果持有股票，那么只能是在第 \(0\) 天买入的，对应负收益 \(-{\it prices}[0]\)；如果不持有股票，那么收益为零。注意到第 \(0\) 天实际上是不存在处于冷冻期的情况的，但我们仍然可以将对应的状态 \(f[0][1]\) 置为零，实际上只要取小于等于\(0\)的数即可。
这样我们就可以从第 \(1\) 天开始，根据上面的状态转移方程进行进行动态规划，直到计算出第 \(n-1\) 天的结果。
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
int n=prices.size();
vector<vector<int>> f(n+1,vector<int>(3));
f[0][0] = -prices[0], f[0][1] = f[0][2] = 0;
for (int i = 1; i < n; i ++ )
{
f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][2] - prices[i]);
f[i][1] = f[i - 1][0] + prices[i];
f[i][2] = max(f[i - 1][2], f[i - 1][1]);
}
return max(f[n-1][1],f[n-1][2]);
}
};
