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[蓝桥杯][2017年第八届真题]k倍区间

暴力的做法是O(n2),枚举左右端点lr,通过前缀和计算出sum[lr]=sum[r]sum[l1],但不足以通过此题。

题意可转化为:找两个端点lr,使得sum[lr]%k=(sum[r]sum[l1])%k==0,即sum[r] \equiv sum[l-1] \mod k

于是我们统计出所有sum[i] \mod k的余数,记为cnt[sum[i]\%k]

最后枚举余数(0 \sim k-1),假设当前枚举的余数为m,则满足sum[l \sim r]\%k == mlr配对的个数为C_{cnt[m]}^2

注意点

由于sum[0]=0,因此初始时cnt[0]=1

const int N=1e5+10;
LL sum[N],cnt[N];
int n,k;
int main()
{
cin>>n>>k;
cnt[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>sum[i];
sum[i]+=sum[i-1];
cnt[sum[i]%k]++;
}
LL ans=0;
for(int i=0;i<k;i++)
{
ans+=cnt[i]*(cnt[i]-1)/2;
}
cout<<ans<<endl;
//system("pause");
return 0;
}

也可以采用下面更简洁的写法,不再是求组合数了,而是规定了一个顺序,每次求当前为右端点r的情况下,1 \sim i-1中与sum[r]同余模k的左端点l的个数。

const int N=1e5+10;
int sum[N],cnt[N];
int n,k;
int main()
{
cin>>n>>k;
LL ans=0;
cnt[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>sum[i];
sum[i]=(sum[i]+sum[i-1])%k;
ans+=cnt[sum[i]];
cnt[sum[i]]++;
}
cout<<ans<<endl;
//system("pause");
return 0;
}
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