[蓝桥杯][2017年第八届真题]k倍区间

暴力的做法是\(O(n^2)\)，枚举左右端点\(l\)和\(r\)，通过前缀和计算出\(sum[l \sim r] = sum[r] - sum[l-1]\)，但不足以通过此题。

题意可转化为：找两个端点\(l\)和\(r\)，使得\(sum[l \sim r]\%k = (sum[r] - sum[l-1])\%k == 0\)，即\(sum[r] \equiv sum[l-1] \mod k\)。

于是我们统计出所有\(sum[i] \mod k\)的余数，记为\(cnt[sum[i]\%k]\)。

最后枚举余数\((0 \sim k-1)\)，假设当前枚举的余数为\(m\)，则满足\(sum[l \sim r]\%k == m\)的\(l\)和\(r\)配对的个数为\(C_{cnt[m]}^2\)。

注意点

由于\(sum[0]=0\)，因此初始时\(cnt[0]=1\)。

const int N=1e5+10;
LL sum[N],cnt[N];
int n,k;

int main()
{
    cin>>n>>k;

    cnt[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>sum[i];
        sum[i]+=sum[i-1];
        cnt[sum[i]%k]++;
    }

    LL ans=0;
    for(int i=0;i<k;i++)
    {
        ans+=cnt[i]*(cnt[i]-1)/2;
    }
        
    cout<<ans<<endl;

    //system("pause");
    return 0;
}

也可以采用下面更简洁的写法，不再是求组合数了，而是规定了一个顺序，每次求当前为右端点\(r\)的情况下，\(1 \sim i-1\)中与\(sum[r]\)同余模\(k\)的左端点\(l\)的个数。

const int N=1e5+10;
int sum[N],cnt[N];
int n,k;

int main()
{
    cin>>n>>k;

    LL ans=0;
    cnt[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>sum[i];
        sum[i]=(sum[i]+sum[i-1])%k;
        ans+=cnt[sum[i]];
        cnt[sum[i]]++;
    }
    cout<<ans<<endl;

    //system("pause");
    return 0;
}