1113 Integer Set Partition (25 分)

水~。

题意

给定一个由整数组成的集合，集合中的整数各不相同，现在要将它分为两个子集合，使得这两个子集合的并为原集合、交为空集，同时在两个子集合的元素个数n1与n2之差的绝对值|n1-n2|尽可能小的前提下，要求它们各自的元素之和S1与S2之差的绝对值|S1-S2|尽可能大。

思路

首先可以注意到，由于需要先满足两个子集合的元素个数n1与n2之差的绝对值|n1-n2|尽可能小，因此可以知道当原集合中元素个数N为偶数时，两个子集合中的元素个数相同，此时两个子集合的元素个数n1与n2之差的绝对值|n1-n2|为0；而当原集合中元素个数N为奇数时，两个子集合的元素个数n1与n2之差的绝对值|n1-n2|为1，考虑到需要让两个子集合各自的元素之和S1与S2之差的绝对值|S1-S2|尽可能大，因此应该让尽可能多、尽可能大的元素都分配到其中一个子集合中。

由此可以得到最简洁的做法：即把所有元素从小到大排序，然后将较小的N/2(向下取整)个元素作为其中一个集合，而让剩下的元素作为另一个集合，这样就能得到最大的元素和之差，这种做法的时间复杂度为\(O(NlogN)\)。

由于本题的数据范围较小，因此上面的做法是可以通过的，而如果数据范围非常大，那么就有可能超时。此时需要通过快速选择算法找出元素第N/2大，同时根据这个元素把序列分成小于和大于两部分即可。但是同样由于本题数据范围较小，使得rand版本的快速选择算法虽然时间复杂度为\(O(N)\)，但其实际效果并不好(rand函数、递归的时间开销都不能忽视)，反而会在本题的时间限制下超时。

因此下面介绍一个非常有用的替代函数：nth_element，nth_element函数在头文件algorithm中，需要同时添加“using namespace std;”才能使用，这个函数可以找到序列第K大并把序列分成小于跟大于两部分，也就是说我们可以直接用这个函数来代替随机选择算法，效率颇高。对一个数组a，nth_element(a,a+K,a+N)就是把序列切分成a[0...(K-1)]和a[K...(N-1)]两部分，所以序列第N/2大就可以用nth_element(a,a+N/2,a+N)实现。

代码

直接排序：

const int N=1e5+10;
int a[N];
int n;

int main()
{
    cin>>n;

    for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i];

    sort(a,a+n);

    int lsum=0,rsum=0;
    int mid=a[(n-1)/2];
    for(int i=0,j=n-1;i<j;i++,j--)
    {
        lsum+=a[i];
        rsum+=a[j];
    }
    if(n & 1)
        cout<<1<<' '<<rsum+mid-lsum<<endl;
    else
        cout<<0<<' '<<rsum-lsum<<endl;
    //system("pause");
    return 0;
}

快速选择算法：

const int N=1e5+10;
int a[N];
int n;

int main()
{
    cin>>n;

    for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i];

    nth_element(a,a+n/2,a+n);

    int lsum=0,rsum=0;
    for(int i=0;i<n/2;i++) lsum+=a[i];
    for(int i=n/2;i<n;i++) rsum+=a[i];

    cout<<n%2<<' '<<rsum-lsum<<endl;
    //system("pause");
    return 0;
}