P1082 [NOIP2012 提高组] 同余方程

求关于\(x\)的同余方程 \(ax \equiv 1 \pmod {b}\)的最小正整数解。

将 \(ax \equiv 1 \pmod {b}\) 转换成\(ax+by=1\)，而\(ax+by=1\)有解的充要条件是\(1\% gcd(a,b) == 1\)，于是乎\(gcd(a,b) == 1\)，题目明确一定有解，于是我们得到\(gcd(a,b)\)的值为1。

通过exgcd可求得\(ax+my=gcd(a,b)①\)的解\((x_0,y_0)\)（我们只关心\(x\)），则\(ax+by=1②\)的解可在\(①\)式两边同乘\(\frac{1}{gcd(a,b)}\)，得到\(a\frac{x}{gcd(a,b)}+b\frac{y}{gcd(a,b)} = 1\)，故\((\frac{x_0}{gcd(a,b)},\frac{y_0}{gcd(a,b)})\)为\(②\)式的一个解，而\(gcd(a,b) == 1\)，所以\((x_0,y_0)\)就是\(②\)式的一个解。

最小正整数解为\((x_0\%\frac{b}{gcd}+\frac{b}{gcd})\%\frac{b}{gcd}\)，由\(gcd(a,b)==1\)化简得\((x_0\%b+b)%b\)。

int a,b,x,y;

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }

    int g=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return g;
}

int main()
{
    cin>>a>>b;
    int g=exgcd(a,b,x,y);
    cout<<(x%b+b)%b<<endl;

    //system("pause");
    return 0;
}