矩阵构造方法

Fibonacci数列：F(0)=1 , F(1)=1 , F(n)=F(n-1)+F(n-2)

我们以前快速求Fibonacci数列第n项的方法是：构造常系数矩阵

（一） Fibonacci数列f[n]=f[n-1]+f[n-2],f[1]=f[2]=1的第n项快速求法（不考虑高精度）

解法：

考虑1×2的矩阵【f[n-2],f[n-1]】。根据Fibonacci数列的递推关系，我们可以通过乘以一个2×2的矩阵A，得到矩阵：【f[n-1],f[n]】。

即：【f[n-2],f[n-1]】*A = 【f[n-1],f[n]】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]】

很容易构造出这个2×2矩阵A，即：

０ １
１ １

所以，有【f[1],f[2]】×A＝【f[2],f[3]】

又因为矩阵乘法满足结合律，故有：【f[1],f[2]】×A ^(n-1) =【f[n],f[n+1]】。这个矩阵的第一个元素f[n]即为所求。

（二） 数列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+1,f[1]=f[2]=1的第n项的快速求法（不考虑高精度）

解法：

仿照前例，考虑1×3的矩阵【f[n-2],f[n-1],1】，希望求得某3×3的矩阵A，使得此1×3的矩阵乘以A得到矩阵：【f[n-1],f[n],1】

即：【f[n-2],f[n-1],1】* A ＝【f[n-1],f[n],1】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]+1,1】

容易构造出这个3×3的矩阵A，即：

０ １ ０
１ １ ０
０ １ １

故：【f[1],f[2],1】* A^(n-1) = 【f[n],f[n+1],1】

（三）数列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+n+1,f[1]=f[2]=1的第n项的快速求法（不考虑高精度）.

解法：

仿照前例，考虑1×4的矩阵【f[n-2],f[n-1],n,1】，希望求得某4×4的矩阵A，使得此1×4的矩阵乘以A得到矩阵：【f[n-1],f[n],n+1,1】

即：【f[n-2],f[n-1],n,1】* A = 【f[n-1],f[n],n+1,1】＝【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]+n+1,n+1,1】

容易构造出这个4×4的矩阵A，即：

０ １ ０ ０
１ １ ０ ０
０ １ １ ０
０ １ １ １

故：【f[1],f[2],3,1】* A^(n-1) = 【f[n],f[n+1],n+2,1】

（四） 数列f[n]=f[n-1]+f[n-2],f[1]=f[2]=1的前n项和s[n]=f[1]+f[2]+……+f[n]的快速求法（不考虑高精度）

解法：

仿照之前的思路，考虑1×3的矩阵【f[n-2],f[n-1],s[n-2]】，我们希望通过乘以一个3×3的矩阵A，得到1×3的矩阵：【f[n-1],f[n],s[n-1]】

即：【f[n-2],f[n-1],s[n-2]】 * A = 【f[n-1],f[n],s[n-1]】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2],s[n-2]+f[n-1]】

容易得到这个3×3的矩阵A是：

０ １ ０
１ １ １
０ ０ １

这种方法的矩阵规模是(r+1)*(r+1)

f(1)=f(2)=s(1)=1 ，所以，有

【f(1),f(2),s(1)】* A = 【f(2),f(3),s(2)】

故：【f(1),f(2),s(1)】* A^(n-1) = 【f(n),f(n+1),s(n)】

（五） 数列f[n]=f[n-1]+f[n-2]+n+1,f[1]=f[2]=1的前n项和s[n]=f[1]+f[2]+……+f[n]的快速求法（不考虑高精度）.

解法：

考虑1×5的矩阵【f[n-2],f[n-1],s[n-2],n,1】,我们需要找到一个5×5的矩阵A，使得它乘以A得到如下1×5的矩阵【f[n-1],f[n],s[n-1],n+1,1】

即：【f[n-2],f[n-1],s[n-2],n,1】* A =【f[n-1],f[n],s[n-1],n+1,1】=【f[n-1], f[n-1]+f[n-2]+n+1,s[n-2]+f[n-1],n+1,1】

容易构造出A为：

０ １ ０ ０ ０
１ １ １ ０ ０
０ ０ １ ０ ０
０ １ ０ １ ０
０ １ ０ １ １

故：【f(1),f(2),s(1),3,1】* A^(n-1) = 【f(n),f(n+1),s(n),n+2,1】

一般地，如果有f[n]=p * f[n-1]+q * f[n-2]+r*n+s

可以构造矩阵A为：

0  q  0  0  0
1  p  1  0  0
0  0  1  0  0
0  r  0  1  0
0  s  0  1  1