LCA

最近公共祖先(Lowest Common Ancestors, LCA)，是指在有根树中，某两个结点u和v最近的公共祖先。

1. u和v的公共祖先是指一个结点既是u的祖先，又是v的祖先。
2. u和v最近的公共祖先是指离u和v最近的公共祖先。
3. 如果v本身就是u的祖先则u和v最近的公共祖先就是v。

可以利用LCA求解树上任意两点之间的距离。
例如，求u和v之间的距离。如果u和v的最近公共祖先为lca，则u和v之间的距离为u到树根的距离加上v到树根的距离，减去2倍的lca到树根的距离：

\[dist[u]+dist[v]-2* dist[Lca] \]

求解LCA的方法有很多，包括暴力搜索法，树上倍增法，在线RMQ算法，离线Tarjan算法，树链剖分法。

在线算法：以序列化的方式一个个的处理输入，也就是说在开始时并不需要已经知道所有的输入，在解决一个问题后立即输出结果。
离线算法：在开始时就需要知道问题的所有输入数据，可以一次性回答所有的问题。除了离线Tarjan算法，其它算法均为在线算法。

暴力搜索法

暴力搜索法有两种思路：
第一种是向上标记法：从u向上一直到根结点，标记所有经过的结点；如果v已被标记，则v结点即为LCA(u, v)。否则v也向上走，第一次遇到已标记的结点时，该结点即为LCA(u, v)。

第二种是同步前进法：将u,v中深度较深的那个结点向上走到和深度较浅的结点同一深度，然后两个点一起向上走，直到走到同一个结点，该结点就是u，v的最近公共祖先，记作LCA(u,v)。如果较深的结点u到达v的同一深度时，那个结点正好就是v，则v结点即为LCA(u,v)。

暴力搜索法求解LCA，两种思路的时间复杂度最坏情况下均为\(O(n)\)时间，每一次查询需要\(O(n)\)时间。