《算法笔记》第十章——最短路 学习记录
Dijkstra算法
Dijkstra算法(读者可以将其读作“迪杰斯特拉算法”)用来解决单源最短路问题，即给定图G和起点s，通过算法得到s到达其他每个顶点的最短距离。Dijkstra的基本思想是对图G(V,E)设置集合S存放已被访问的顶点，然后每次从集合V-S中选择与起点s的最短距离最小的一个顶点(记为u)，访问并加入集合S。之后，令顶点u为中介点，优化起点s与所有从u能到达的顶点v之间的最短距离。这样的操作执行n次(n为顶点个数)，直到集合S已包含所有顶点。
Dijkstra算法的策略是：
设置集合S存放已被访问的顶点(即已攻占的城市)，然后执行n次下面的两个步骤(n为顶点个数)：
- 每次从集合V-S中选择与起点s的最短距离最小的一个顶点(记为u)，访问并加入集合S。
- 之后，令顶点u为中介点，优化起点s与所有从u能到达的顶点v之间的最短距离。
碰到这种有两条及以上可以达到最短距离的路径，题目就会给出一个第二标尺(第一标尺是距离)，要求在所有最短路径中选择第二标尺最优的一条路径。而第二标尺常见的是以下三种出题方法或其组合：
- 给每条边再增加-一个边权(比如说花费)，然后要求在最短路径有多条时要求路径上的花费之和最小(如果边权是其他含义，也可以是最大)。
- 给每个点增加一个点权(例如每个城市能收集到的物资)，然后在最短路径有多条时要求路径上的点权之和最大(如果点权是其他含义的话也可以是最小)。
- 直接问有多少条最短路径。
细心的读者应当注意到，上面给出的3种情况都是以路径上边权或点权之"和”为第二标尺的，例如路径上的花费之和最小、路径上的点权之和最小、最短路径的条数都体现了“和”的要求。事实上也可能出现一些逻辑更为复杂的计算边权或点权的方式，此时按上面的方式只使用Djkstra算法就不一定能算出正确的结果(原因是不一定满足最优子结构)，或者即便能算出，其逻辑也极其复杂，很容易写错。
这里介绍一种更通用、又模板化的解决此类问题的方式一Dijkstra + DFS。回顾上面只使用Djkstra算法的思路，会发现，算法中数组pre总是保持着最优路径，而这显然需要在执行Dijkstra算法的过程中使用严谨的思路来确定何时更新每个结点v的前驱结点pre[v]，实在容易出错。事实上更简单的方法是：先在Djjkstra算法中记录下所有最短路径(只考虑距离)，然后从这些最短路径中选出一条第二标尺最优的路径(因为在给定一条路径的情况下，针对这条路径的信息都可以通过边权和点权很容易计算出来！)。
- 使用Dijkstra算法记录所有最短路径。
由于此时要记录所有最短路径，因此每个结点就会存在多个前驱结点，这样原先pre数组只能记录一个前驱结点的方法将不再适用。为了适应多个前驱的情况，不妨把pre数组定义为vector类型“vectorpre[MAXV]”，这样对每个结点v来说，pre[v]就是一 个变长数组，
里面用来存放结点v的所有能产生最短路径的前驱结点。(注：对需要查询某个顶点u是否在顶点v的前驱中的题目，也可以把pre数组设置为set数组，此时使用pre[v].count(u)来查询会比较方便)。
于是通过上面vector类型的pre数组，就可以使用DES来获取所有最短路径。
这里先讲解如何获取这个pre数组。之前已经提到过，在本处Djkstra 算法部分，只需要考虑距离这一个因素， 因此不必考虑第二标尺的干扰，而专心于pre数组的求解。在之前的写法中，pre[i]被初始化为i，表示每个结点在初始状态下的前驱为自身，但是在此处，pre数组一开始不需要赋初值(原因马上就会提到)。
接下来就是考虑更新d[v]的过程中pre数组的变化。首先，如果d[u]+ G[u][v] <d[v]，说明以u为中介点可以使d[v]更优，此时需要令v的前驱结点为u。并且即便原先pre[v]中已经存放了若干结点，此处也应当先清空，然后再添加u。显然，对顶点v来说，由于每次找到更优的前驱时都会清空pre[v]，因此pre数组不需要初始化。
之后，如果d[u] + G[u][v] == d[v]，说明以u为中介点可以找到一条相同距离的路径，因此v的前驱结点需要在原先的基础上添加上u结点(而不必先清空pre[v])。
遍历所有最短路径，找出一条使第二标尺最优的路径。读者应该还记得，在之前的写法中曾使用一个递归来找出最短路径。此处的做法与之类似，不同点在于，由于每个结点的前驱结点可能有多个，遍历的过程就会形成一棵递归树。
显然，当对这棵树进行遍历时，每次到达叶子结点，就会产生一条完整的最短路径(想想之前的写法是什么样的树？——其实就是一条链)。因此，每得到一条完整路径，就可以对这条路径计算其第二标尺的值( 例如把路径上的边权或是点权累加出来)，令其与当前第二标尺的最优值进行比较。如果比当前最优值更优，则更新最优值，并用这条路径覆盖当前的最优路径。这样，当所有最短路径都遍历完毕后，就可以得到最优第二标尺与最优路径。
接下来就要考虑如何写DFS的递归函数。
首先，根据上面的分析，必须要有的是：
- 作为全局变量的第二标尺最优值optValue。
- 记录最优路径的数组path(使用vector来存储)。
- 临时记录DFS遍历到叶子结点时的路径tempPath(也使用vector存储)。
然后，考虑递归函数的两大构成:递归边界与递归式。对递归边界而言，如果当前访问的结点是叶子结点(也即路径的起点st)，那么说明到达了递归边界，此时tempPath存放了一条路径。这时要做的就是对这条路径求出第二标尺的值value，并与optValue比较，如果更优，则更新optValue并把tempPath覆盖path。
对递归式而言，如果当前访问的结点是v，那么只需要遍历pre[v]中的所有结点并进行递归即可。
最后说明如何在递归过程中生成tempPath。其实很简单，只要在访问当前结点v时将v加到tempPath的最后面，然后遍历pre[v]进行递归， 等pre[v]的所有结点遍历完毕后再把tempPath最后面的v弹出。只是要注意的是，叶子结点(也即路径的起点st)没有办法通过上面的写法直接加入tempPath,因此需要在访问到叶子结点时临时加入。
需要注意的是，由于递归的原因，存放在tempPath中的路径结点是逆序的，因此访问结点需要倒着进行。当然，如果仅是对边权或点权进行求和，那么正序访问也是可以的。
最后指出，如果需要同时计算最短路径(指距离最短)的条数，那么既可以按之前的做法在Dijkstra代码中添加num数组来求解，也可以开一个全局变量来记录最短路径条数，当DFS到达叶子结点时令该全局变量加1即可。
而如果题目有第三标尺、第四标尺，也可以用同样的思路进行解决，读者可以在练习题中可以找到这样的题目进行尝试。另外，如果题目较为简洁且只有第二标尺，可能还是用之前讲解的一遍Djkstra算法的求解过程更好写且更快。
Bellman-Ford算法和SPFA算法
Dijkstra算法可以很好地解决无负权图的最短路径问题，但如果出现了负权边，Dijkstra算法就会失效，例如图10-39中设置A为源点时，首先会将点B和点C的dist值变为-1和1，接着由于点B的dist值最小，因此用点B去更新其未访问的邻接点(虽然并没有)。在这之后点B标记为已访问，于是将无法被从点C出发的边CB更新，因此最后dist[B]就是-1，但显然A到B的最短路径长度应当是A→C→B的-4。
为了更好地求解有负权边的最短路径问题，需要使用Bellman-Ford算法(简称BF算法)。和Djkstra算法一样，Bellman-Ford算法可解决单源最短路径问题，但也能处理有负权边的情况。Bellman-Ford 算法的思路简洁直接，易于读者掌握。
现在考虑环，也就是从某个顶点出发、经过若千个不同的顶点之后可以回到该顶点的情况。而根据环中边的边权之和的正负，可以将环分为零环、正环、负环(如图10-40所示，环A→B→C中的边权之和分别为0、正、负)。显然，图中的零环和正环不会影响最短路径的求解，因为零环和正环的存在不能使最短路径更短；而如果图中有负环，且从源点可以到达，那么就会影响最短路径的求解；但如果图中的负环无法从源点出发到达，则最短路径的求解不会受到影响。
与Dijkstra算法相同，Bellman-Ford算法设置一个数组d,用来存放从源点到达各个顶点的最短距离。同时Bellman-Ford算法返回一个bool值：如果其中存在从源点可达的负环，那么函数将返回false；否则，函数将返回true，此时数组d中存放的值就是从源点到达各顶点的最短距离。
Bellman-Ford算法的主要思路如下面的伪代码所示。需要对图中的边进行V- 1轮操作，每轮都遍历图中的所有边：对每条边u→v，如果以u为中介点可以使d[v]更小，即d[u]+length[u->v] < d[v]成立时，就用d[u] + length[u->v]更新d[v]。同时也可以看出，Bellman-Ford算法的时间复杂度是\(O(VE)\)，其中n是顶点个数，E是边数。
for(int i=0;i<n-1;i++)
for(each edge u->v)
if(d[u] + length[u->v] < d[v])
d[v]=d[u]+length[u->v];
此时，如果图中没有从源点可达的负环，那么数组d中的所有值都应当已经达到最优。因此，如下面的伪代码所示，只需要再对所有边进行一轮操作，判断是否有某条边u→v仍然满足d[u] + length[u->v] < d[v]，如果有，则说明图中有从源点可达的负环，返回false；否则，
说明数组d中的所有值都已经达到最优，返回true。
for(each edge u->v)
if(d[u] + length[u->v] < d[v])
return false;
return true;
那么，为什么BellmanFord算法是正确的呢?想要了解完整数学证明的读者可以参考算法导论，下面给出一个简洁直观的证明。
首先，如果最短路径存在，那么最短路径上的顶点个数肯定不会超过V个。于是，如果把源点s作为一棵树的根结点，把其他结点按照最短路径的结点顺序连接，就会生成一棵最短路径树。 图10-41 是最短路径树的一个例子。显然，在最短路径树中，从源点S到达其余各顶点的路径就是原图中对应的最短路径，且原图和源点一且确定，最短路径树也就确定了。另外，由于最短路径上的顶点个数不超过V个，因此最短路径树的层数一定不超过V。
由于初始状态下d[s]为0，因此在接下来的步骤中d[s]不会被改变(也就是说，最短路径树中第一层结点的d值被确定)。接着，通过Bellman-Ford算法的第一轮操作之后，最短路径树中的第二层顶点的d值也会被确定下来；然后进行第二轮操作，于是第三层顶点的d值也被确定下来。这样计算直到最后一层顶点的d值确定。由于最短路径树的层数不超过V层，因此Bellman-Ford算法的松弛操作不会超过V-1轮。证毕。
由于Bellman-Ford算法需要遍历所有边，显然使用邻接表会比较方便；如果使用邻接矩阵，则时间复杂度会上升到\(O(V3)\)。
注意到，如果在某一轮操作时，发现所有边都没有被松弛，那么说明数组d中的所有值都已经达到最优，不需要再继续，提前退出即可，这样做可以稍微加快一点速度。
至于最短路径的求解方法、有多重标尺时的做法均与Dijkstra算法中介绍的相同，此处不再重复介绍。唯一要注意的是统计最短路径条数的做法：由于Bellman-Ford算法期间会多次访问曾经访问过的顶点，如果单纯按照Djkstra算法中介绍的num数组的写法，将会反复累计已经计算过的顶点。
为了解决这个问题，需要设置记录前驱的数组set
虽然Bellman-Ford算法的思路很简洁，但是\(O(VE)\)的时间复杂度确实很高，在很多情况下并不尽如人意。仔细思考后会发现，Bellman-Ford 算法的每轮操作都需要操作所有边，显然这其中会有大量无意义的操作，严重影响了算法的性能。
于是注意到，只有当某个顶点u的d[u]值改变时，从它出发的边的邻接点v的d[v]值才有可能被改变。由此可以进行一个优化：建立一个队列，每次将队首顶点u取出，然后对从u出发的所有边u→v进行松弛操作，也就是判断d[u] + length[u->v] < d[v]是否成立，如果成立，则用d[u] + length[u->v]覆盖d[v]，于是d[v]获得更优的值，此时如果v不在队列中，就把v加入队列。这样操作直到队列为空
(说明图中没有从源点可达的负环)，或是某个顶点的入队次数超过V-1 (说明图中存在从源点可达的负环)。
这种优化后的算法被称为SPFA (Shortest Path Faster Algorithm)，它的期望时间复杂度是\(O(kE)\)，其中E是图的边数，k是一个常数，在很多情况下k不超过2，可见这个算法在大部分数据时异常高效，并且经常性地优于堆优化的Djkstra算法。
但如果图中有从源点可达的负环，传统SPFA的时间复杂度就会退化成\(O(VE)\)。
另外，如果事先知道图中不会有环，那么num数组的部分可以去掉。注意：使用SPFA可以判断是否存在从源点可达的负环，如果负环从源点不可达，则需要添加一个辅助顶点C，并添加一条从源点到达C的有向边以及V-1条从C到达除源点外各顶点的有向边才能判断负环是否存在。
SPFA十分灵活，其内部的写法可以根据具体场景的不同进行调整。例如上面代码中的FIFO队列可以替换成优先队列(priority queue)，以加快速度；或者替换成双端队列(deque)，使用SLF优化和LLL优化，以使效率提高至少50%。除此之外，上面给出的代码是SPFA的BFS版本，如果将队列替换成栈，则可以实现DFS版本的SPFA，对判环有奇效。
Floyd算法
Floyd算法(读者可以将其读作“弗洛伊德算法”)用来解决全源最短路问题，即对给定的图G(V,E)，求任意两点u, v之间的最短路径长度，时间复杂度是\(O(n^3)\)。由于\(O(n^3)\)的复杂度决定了顶点数n的限制约在200以内，因此使用邻接矩阵来实现Floyd算法是非常合适且方
便的。
Floyd算法基于这样一个事实：如果存在顶点k，使得以k作为中介点时顶点i和顶点j的当前最短距离缩短，则使用顶点k作为顶点i和顶点j的中介点，即当dis[i][k] + dis[k][] < dis[i][j]时，令dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j] (其中dis[i][j]表示从顶点i到
顶点j的最短距离)。
对Floyd算法来说，需要注意的是：不能将最外层的k循环放到内层(即产生i->j->k的三重循环)，这会导致最后结果出错。理由是：如果当较后访问的dis[u][v]有了优化之后，前面访问的dis[i][j]会因为已经被访问而无法获得进一步优化(这里i、j先于u、v进行访问)。
