《算法笔记》——第五章 分数的四则运算 学习记录
所谓分数的四则运算是指，给定两个分数的分子和分母，求它们加减乘除的结果。下面先介绍如何表示和化简一个分数。
分数的表示
对一个分数来说，最简洁的写法就是写成假分数的形式，即无论分子比分母大或者小，都保留其原数。因此可以使用一个结构体来存储这种只有分子和分母的分数：
struct Fraction {
int up,down;
};
于是就可以定义Fraction类型的变量来表示分数，或者定义数组来表示一堆分数。其中需要对这种表示制订三项规则：
- 使down为非负数。如果分数为负，那么令分子up为负即可。
- 如果该分数恰为0，那么规定其分子为0，分母为1。
- 分子和分母没有除了1以外的公约数。
分数的化简
分数的化简主要用来使Fraction变量满足分数表示的三项规定，因此化简步骤也分为以下三步：
- 如果分母down为负数，那么令分子up和分母down都变为相反数。
- 如果分子up为0，那么令分母down为1。
- 约分：求出分子绝对值与分母绝对值的最大公约数d，然后令分子分母同时除以d。
Fraction reduction(Fraction result)
{
if(result.down < 0)
{
result.up=-result.up;
result.down=-result.down;
}
if(result.up == 0)
{
result.down=1;
}
else
{
int d=gcd(abs(result.up),abs(result.down));
result.up/=d;
result.down/=d;
}
return result;
}
分数的四则运算
分数的加法
对两个分数fl和f2，其加法计算公式为
\[result=\frac{f1.up*f2.down+f2.up*f1.down}{f1.down*f2.down}
\]
Fraction add(Fraction f1,Fraction f2)
{
Fraction result;
result.up=f1.up*f2.down+f2.up*f1.down;
result.down=f1.down*f2.down;
return reduction(result);
}
分数的减法
对两个分数f1和f2，其减法计算公式为
\[result=\frac{f1.up*f2.down-f2.up*f1.down}{f1.down*f2.down}
\]
分数的乘法
对两个分数f1和f2，其乘法计算公式为
\[result=\frac{f1.up*f2.up}{f1.down*f2.down}
\]
分数的除法
对两个分数f1和f2，其除法计算公式为
\[result=\frac{f1.up*f2.down}{f1.down*f2.up}
\]
除法有额外注意事项。如果读入的除数为0 (只需判断f2.up是否为0)，那么应当直接特判输出题目要求的输出语句(例如输出Error、Inf之类)。只有当除数不为0时，才能用上面的函数进行计算。
分数的输出
分数的输出根据题目的要求进行，但是大体上有以下几个注意点：
- 输出分数前，需要先对其进行化简。
- 如果分数r的分母down为1，说明该分数是整数，一般来说题目会要求直接输出分子，而省略分母的输出。
- 如果分数r的分子up的绝对值大于分母down，说明该分数是假分数，此时应按带分数的形式输出，即整数部分为r.up/r.down，分子部分为abs(r.up)%r.down，分母部分为r.down。
- 以上均不满足时说明分数r是真分数，按原样输出即可。
void showResult(Fraction r)
{
r=reduction(r);
if(r.down == 1) printf("%d",r.up);
else if(abs(r.up) > r.down)
printf("%d %d/%d",r.up/r.down,abs(r.up)%r.down,r.down);
else printf("%d/%d",r.up,r.down);
}
强调一点：由于分数的乘法和除法的过程中可能使分子或分母超过int型表示范围，因此一般情况下，分子和分母应当使用long long型来存储。
