《算法笔记》——第四章two pointers 学习记录
two pointers
two pointers是算法编程中一种非常重要的思想，但是很少会有教材单独拿出来讲，其中一个原因是它更倾向于是一种编程技巧，而长得不太像是一个“算法”的模样。two pointers的思想十分简洁，但却提供了非常高的算法效率，下面就来一探究竟。
以一个例子引入：给定一个递增的正整数序列和一个正整数M，求序列中的两个不同位置的数a和b，使得它们的和恰好为M，输出所有满足条件的方案。例如给定序列{1,2,3, 4,5,6}和正整数M=8，就存在2+6=8与3+5=8成立。
本题的一个最直观的想法是，使用二重循环枚举序列中的整数a和b，判断它们的和是否为M，如果是，输出方案；如果不是，则继续枚举。
显然，这种做法的时间复杂度为\(O(n^2)\)，对n在\(10^5\)的规模时是不可承受的。来看看高复杂度的原因是什么：
- 对一个确定的a[i]来说，如果当前的a[j]满足a[i] + a[j]> M，显然也会有a[i] + a[j+1]> M成立(这是由于序列是递增的)，因此就不需要对a[j]之后的数进行枚举。如果无视这个性质，就会导致j进行了大量的无效枚举，效率自然十分低下。
- 对某个a[i]来说，如果找到一个a[j]，使得a[i] + a[j]> M恰好成立，那么对a[i+1]来说，一定也有a[i+1] + a[j]> M成立，因此在a[i]之后的元素也不必再去枚举。
上面两点似乎体现了一个问题：i和j的枚举似乎是互相牵制的，而这似乎可以给优化算法带来很大的空间。事实上,本题中two pointers将利用有序序列的枚举特性来有效降低复杂度。它针对本题的算法过程如~下：
令下标i的初值为0，下标j的初值为n-1，即令i、j分别指向序列的第一个元素和最后一个元素，接下来根据a[i] + a[j]与M的大小来进行下面三种选择，使i不断向右移动、使j不断向左移动，直到i≥j 成立。
- 如果满足a[i]+a[j]==M，说明找到了其中一组方案。由于序列递增，不等式a[i+1]+a[j]>M与a[i]+a[j-1]<M均成立，但是a[i+1]+ a[j-1]与M的大小未知，因此剩余的方案只可能在[i+ 1,j- 1]区间内产生，令i=i+1、j=j-1 (即令i向右移动，j向左移动)。
- 如果满足a[i]+a[j]>M，由于序列递增，不等式a[i+1]+a[j]> M成立，但是a[i] +a[j-1]与M的大小未知，因此剩余的方案只可能在[i,j- 1]区间内产生，令j=j-1 (即令j向左移动)。
- 如果满足a[i]+a[j]<M，由于序列递增，不等式a[i]+a[j-1]<M 成立，但是a[i+ 1]+a[j]与M的大小位置，因此剩余的方案只可能在[i+ 1, j]区间内产生，令i=i+1 (即令i向右移动)。
反复执行上面三个判断，直到\(i\gej\)成立，代码如下：
while(i<j)
{
if(a[i]+a[j] == m)
{
printf("%d %d\n",i,j);
i++,j--;
}
else if(a[i]+a[j]<m)
i++;
else
j--;
}
下面来分析下算法的复杂度。由于i的初值为0，j的初值为n-1，而程序中变量i只有递增操作、变量j只有递减操作，且循环当i≥j时停止，因此i和j的操作次数最多为n次，时间复杂度为\(O(n)\)。可以发现，two pointers的思想充分利用了序列递增的性质，以很浅显的思
想降低了复杂度。
序列合并
再来看序列合并问题。假设有两个递增序列A与B，要求将它们合并为一个递增序列C。
同样的，可以设置两个下标i和j，初值均为0，表示分别指向序列A的第一个元素和序列B的第一个元素，然后根据A[i]与B[j]的大小来决定哪一个放入序列C。
- 若A[i]<B[j]，说明A[i]是当前序列A与序列B的剩余元素中最小的那个，因此把A[i]加入序列C中，并让i加1 (即让i右移一位)。
- 若A[i]>B[j]，说明B[j]是当前序列A与序列B的剩余元素中最小的那个，因此把B[j]加入序列C中，并让j加1 (即让j右移一位)。
- 若A[i]== B[j]，则任意选一个加入到序列C中，并让对应的下标加1。
上面的分支操作直到i、j中的一个到达序列末端为止，然后将另一个序列的所有元素依次加入序列C中，代码如下:
int merge(int a[],int b[],int c[],int n,int m)
{
int i=0,j=0,index=0;
while(i<n && j<m)
{
if(a[i] <= b[j])
c[index++]=a[i++];
else
c[index++]=b[j++];
}
while(i<n) c[index++]=a[i++];
while(j<m) c[index++]=b[j++];
return index;
}
最后，一定有读者问，two pointers到底是怎样的一种思想?事实上，two pointers最原始的含义就是针对本节第一个问题而言的，而广义上的two pointers则是利用问题本身与序列的特性，使用两个下标i、j对序列进行扫描(可以同向扫描，也可以反向扫描)，以较低的复杂度(一般是\(O(n)\)的复杂度)解决问题。读者在实际编程时要能够有使用这种思想的意识。
