《进阶指南》——二分 学习记录

二分的基础的用法是在单调序列或单调函数中进行查找。因此当问题的答案具有单调性时，就可以通过二分把求解转化为判定(根据复杂度理论，判定的难度小于求解)，这使得二分的运用范围变得很广泛。进一步地, 我们还可以扩展到通过三分法去解决单峰函数的极值以及相关问题。

二分的实现方法多种多样，但是其细节之处确实需要仔细考虑。对于整数域上的二分，需要注意终止边界、左右区间取舍时的开闭情况，避免漏掉答案或造成死循环；对于实数域上的二分，需要注意精度问题。

整数集合上的二分

本书所使用的二分的写法保证最终答案处于闭区间\([l,r]\)以内，循环以l==r结束，每次二分的中间值mid会归属于左半段与右半段二者之一。

在单调递增序列a中查找≥x的数中最小的一个(即x或x的后继):

while(l<r)
{
    int mid=l+r>>1;
    if(a[mid] >= x) r=mid;
    else l=mid+1;
}
return a[l];

在单调递增序列(a中查找≤x的数中最大的一个(即x或x的前驱)：

while(l<r)
{
    int mid=l+r+1>>1;
    if(a[mid] <= x) l=mid;
    else r=mid-1;
}
return a[l];

在第一段代码中，若a[mid]≥x；则根据序列a的单调性，mid之后的数会更大，所以≥x的最小的数不可能在mid之后，可行区间应该缩小为左半段。因为mid也可能是答案，故此时应取r= mid。同理，若a[mid]<x，取l=mid + 1。

在第二段代码中，若a[mid]≤x，则根据序列a的单调性，mid之前的数会更小，所以≤x的最大的数不可能在mid之前，可行区间应该缩小为右半段。因为mid也可能是答案，故此时应取l=mid。同理，若a[mid]>x, 取r=mid- 1。

如上面两段代码所示，这种二分写法可能会有两种形式：

1. 缩小范围时，r=mid，l= mid+1，取中间值时，mid=l+r>>1。
2. 缩小范围时，l=mid，r= mid-1，取中间值时，mid=l+r+1>>1。

如果不对mid的取法加以区分，例如第二段代码假如也采用mid= (l + r)/2，那么当r-l等于1时，就有mid=\(\lfloor (l+r)/2 \rfloor=l\)。接下来若进入l=mid分支，可行区间未缩小，造成死循环；若进入r=mid-1分支，造成l>r，循环不能以l==r结束。因此对两个形式采用配套的mid取法是必要的。上面两段代码所示的两个形式共同组成了这种二分的实现方法。

总而言之，正确写出这种二分的流程是:

1. 通过分析具体问题，确定左右半段哪一个是可行区间，以及mid归属哪一半段。
2. 根据分析结果，选择“r=mid，l=mid+1, mid=(l+r)/2”和“l= mid，r=mid-1，mid=(l+r+1)/2”两个配套形式之一。
   3.二分终止条件是l==r，该值就是答案所在位置。