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从零开始学习「张氏相机标定法」（四）优化算法前传

前一篇说到LM优化算法。在介绍LM优化算法前，得先说说它是怎么一步步发展来的。因此，优化算法部分的介绍顺序是：梯度下降、牛顿法、高斯牛顿法、LM法。

一般待优化的目标函数都是由误差的平方和组成，也就是我们常见的最小二乘问题：

这里的 f 一般是非线性函数。我们在微积分课程里学过，如果想要求目标函数的极值（可能是极大值、极小值或者鞍点处的值），可以通过令目标函数的导数（如果可导）为零，求解析解得到。但是实际应用中函数 f 一般是非常复杂的非线性函数，没有解析解。所以一般最常用的优化方法就是迭代求解。

如何迭代呢？

迭代求解

以迭代求解极小值为例（如果求极大值，在前面加个负号转化为求极小值问题）。通用的方法就是先给定一个初值 θ0，对应目标函数值为 f(θ0)，这个初值可以是经验估计的或者随机指定（随机的话收敛会慢一些），然后我们改变（增大或减少） θ0 的值，得到一个新的值 θ1，如果 f(θ1)<f(θ0)，那么说明我们迭代的方向是朝着目标函数值减小的方向，离我们期待的极小值更近了一步，继续朝着这个方向改变 θ1的值，否则朝着相反的方向改变 θ1的值。如此循环迭代多次，直到达到终止条件结束迭代过程。这个终止条件可以是：相邻几次迭代的目标函数值差别在某个阈值范围内，也可以是达到了最大迭代次数等。我们认为迭代终止时的目标函数值就是极小值。

因此迭代的一般过程如下：

1、对于目标函数 f(x)，给定自变量某个初始值x0。这个初值可以是经验估计的或者随机指定。

2、根据采用的具体方法（梯度下降、牛顿、高斯牛顿、LM等）确定一个增量△xk

3、计算目标函数添加了增量后的值如下

4、如果达到迭代终止条件（达到最大迭代次数或函数值/自变量变化非常小），则迭代结束，可以认为此时对应的目标函数值就是最小值。

5、如果没有达到迭代终止条件，按如下方式更新自变量，并返回第2步。

因此，不同的优化算法的不同主要体现在增量的更新方式上。如果采用不合适的更新方式，其实很容易陷入局部最小值。这里给出一个关于局部最小值和全局最小值的直观的理解。如下图所示：

通常我们希望迭代得到的是全局最小值（只有一个）而不是局部最小值（可能有多个）。下图表示的是不同初始值对迭代结果的影响。如果我们初值设的是红色的θ0，最后找到的极小值位于 θ∞，在这个例子中它是全局最小值。但是如果我们初值设的是蓝色的 θ'0，最后我们找到的极小值位于 θ'∞，显然只是局部最小值，不是全局最小值。

实际上按照上述迭代方法，很多时候我们找到的所谓「全局最小值」其实只是局部最小值，这并不是我们期望的。有没有保证局部最小值一定是全局最小值的情况呢？

答案是有，当然这就需要对目标函数有一定的限制。如果我们的目标函数是凸函数，那么可以保证最终找到的极小值就是最小值。很多人可能忘记了什么是凸函数，下面简单介绍一下。

凸函数的概念

凸函数（convex function）在优化算法中是一个非常重要的概念，其定义如下：

如果上面定义没有看懂也没关系，我们可以发现，凸函数其实就是一个「碗」状曲线，碗口向上。下图列举了几种凸函数和非凸函数的例子。如果一个函数是凸函数，那么它只有一个极小值点，也就是最小值点，从下图中也可以看出来。下图从左到右从上到下分别展示了：只有一个极小值的凸函数、只有一个极小值的非凸函数、有多个极值的非凸函数、加了噪音的非凸函数。

如何判断一个函数是否是凸函数？

对于一元二次可微函数，如果它的二阶导数是正的，那么该函数就是严格凸函数。对于多元二次可微函数，当它的Hessian矩阵（不懂没关系，后面会讲）是正定的时候，就是严格凸函数。好了，凸函数就介绍这么些，对凸函数做个总结吧。

1、如果一个函数是凸函数，那么它有且只有一个极值点，且这个极值点是最值点。

2、几个非负凸函数的和仍然是凸函数。

3、如果一个函数不是凸函数，那么它可能只有一个极值点，也可能有多个极值点（局部极值点和全局极值点）

凸函数讲完了，我们继续说说迭代求解最小值法。从最简单易懂的梯度下降法说起。

梯度下降（Gradient Descent）法

先来假设一个场景：一个人去探险被困在一座山上的某个位置，他必须赶在太阳下山之前回到山底的营地，否则会有危险。但是他对这座山不熟悉，而且视野有限无法看清哪里是山底，时间不多了，因此他必须采取比较激进的最快下山路线。由于可视距离有限，比如说10米。那么他需要以当前位置（坐标x0）为中心，以10米为半径寻找周围最陡峭的路（假设没有障碍），盯着这条10米长的路终点（坐标x1）走，当走到坐标为x1位置时，需要重新观察以当前位置为中心，以可视距离10米为半径区域重新寻找最陡峭的路，盯着这条路的终点（坐标x2）走，如此往复，那么最终他能够走到山底吗？

上述过程就是梯度下降法的实例。梯度下降法是求解无约束优化问题最简单和最古老的方法之一，虽然现在已经不具有实用性，但是许多有效算法都是以它为基础进行改进和修正而得到的。

梯度下降法，其本质是一阶优化算法，有时候也称为最速下降法（Steepest Descent）。与其对应的是梯度上升法(Gradient ascent)，用来求函数的极大值，两种方法原理一样，只是计算的过程中正负号不同而已。本文后续都是以梯度下降法为例进行介绍。

在微积分里，对函数求导数（如果是多元函数则求偏导）得到的就是梯度。具体来说，对于函数 f(x,y)，在点 (x0,y0)，沿着梯度向量的方向就是(∂f/∂x0, ∂f/∂y0)，它的方向是 f(x,y) 增加最快的方向。或者说，沿着梯度向量的方向，更加容易找到函数的极大值。反过来说，沿着梯度向量相反的方向，也就是 -(∂f/∂x0, ∂f/∂y0) 的方向，梯度减少最快，也就是更加容易找到函数的极小值。

以一元函数为例，假设目标函数为F(x)，梯度的符号为∇，那么在梯度下降中，自变量x每次按照如下方式迭代更新：

其中 λ 称为步长或者学习率。按照上述方式迭代更新自变量，直到满足迭代终止条件，此时认为自变量更新到函数最小值点。下图是梯度下降法的示意图。

梯度下降法看起来很好，但是在具体使用过程中，会存在不少问题。

问题1：初始值选取

如下图所示，是二维函数优化的一个例子，不同颜色表示不同高度。我们初始值在蓝色的加号位置，最小值位于绿色的加号位置。图中展示了从不同的初始值开始迭代所需要的迭代次数，可以看到不同初始值会产生非常大的差异。(a) 图只经过5次迭代就收敛了， (b) 图经过了22次迭代才收敛。

那么 (b)图里究竟为什么会多出那么多次的迭代呢？将局部细节放大后如下图所示，这部分「锯齿」状的震荡式下降是因为它经历了一个高度逐渐下降的「山谷」，而每次下降方向都与上一次垂直。换句话说，这种下降方式太「短视」，只关注了一个极小范围内的变化，而忽略了长远的趋势（牛顿法就是根据这点进行的改进，具体见后介绍），并不是一种「平滑」的下降。

既然初始值影响这么大，那么一般采用随机多次选取初始值进行多次迭代，然后将多次迭代结果进行比较，找出其中最小的那个作为最小值。这样会导致计算量急剧变大，最终确定的值也不能保证最小，并且因为随机选取，会导致每次最小值都不同，结果不稳定。

问题2：步长选取

步长，就是每一步走多远，这个参数如果设置的太大，那么很容易就在最小值附近徘徊；相反，如果设置的太小，则会导致收敛速度过慢。所以步长的选取也是一个非常关键的因素。

总结一下梯度下降法：

1、实际使用中使用梯度下降法找到的通常是局部极小值，而不是全局最小值。

2、具体找到的是哪个极小值和初始点位置有很大关系。

3、如果函数是凸函数，那么梯度下降法可以保证收敛到全局最优解（最小值）

4、梯度下降法收敛速度通常比较慢

5、梯度下降法中搜索步长 λ 很关键，步长太长会导致找不到极值点甚至震荡发散，步长太小收敛非常慢。

因此，前面的例子中，迷路的探险者可能花费了大量时间找到的却是一个假的山脚（山腰的某个低洼处，局部最小值）。

从零开始学习「张氏相机标定法」（五）优化算法正传

前一篇《从零开始学习「张氏相机标定法」（四）优化算法前传》花了不少篇幅介绍了最简单的求解无约束优化问题的梯度下降法，这篇我们从算法的演进方向分别介绍牛顿法、高斯牛顿法、Levenberg-Marquardt（LM）法。

牛顿法

介绍牛顿法之前，我们先来看看它到底有什么优势？能够解决什么问题？这样才有兴趣去了解它。

前面文章中介绍了梯度下降法在山谷中容易出现锯齿状的迭代，如下图所示。从不同的初始值开始迭代所需要的迭代次数会产生非常大的差异。

这种锯齿状的迭代，可以通过牛顿法来避免。对于同样的目标函数，使用牛顿法在不同的初始值位置（下图中蓝色十字），只需要3、4次迭代即可找到最小值（下图中绿色十字）。

知道了牛顿法相较于梯度下降法的优势了，那么牛顿法是怎么来的？原理是什么？

首先回顾一下，泰勒展开的通式，如下：

待优化的目标函数和前面一样：

我们将目标函数在x处进行二阶泰勒展开。对照上述通式，目标函数泰勒展开如下：

其中 J(x) 是 ||f(x)||2 关于x的Jacobian矩阵（一阶导数），H(x)则是Hessian矩阵（二阶导数）。

什么是Jacobian矩阵和Hessian矩阵呢？

Jacobian矩阵

假设函数 f = {f1(x1,...,xn), .., fm((x1,...,xn))} 有m维空间组成，对应n个自变量。那么函数 f 的一阶偏导数（如果存在）可以组成一个m行n列的矩阵，称为Jacobian（译为雅克比）矩阵

Hessian矩阵

假设有一个实数函数 f(x1,...,xn)，如果函数 f 的所有二阶偏导数存在，那么称如下矩阵为Hessian矩阵，它是一个n x n 的方阵。

而梯度下降法可以认为是泰勒展开式中只取到了一阶项，二阶项后面的部分丢弃。而在牛顿法中，泰勒展开中取到二阶导数，我们的目标函数变为：

对其关于△x求导，并令其为0，可以得到步长

类似于梯度下降法，我们用上述步长来迭代优化，最终收敛到极值点。这个过程就称为牛顿法。

牛顿法相比于梯度下降法的优点是什么呢? 为什么会有这样的优点？我们来直观的理解一下。

如下图所示。红点和蓝点的梯度（一阶导数）是一样的，但是红点出的二阶导数比蓝点大，也就是说在红点处梯度变化比蓝点处更快，那么最小值可能就在附近，因此步长就应该变小；而蓝点处梯度变化比较缓慢，也就是说这里相对平坦，多走一点也没事，那么可以大踏步往前，因此步长可以变大一些。所以我们看到牛顿法迭代优化时既利用了梯度，又利用了梯度变化的速度（二阶导数）的信息。

从几何上说，牛顿法就是用一个二次曲面去拟合你当前所处位置的局部曲面，而梯度下降法是用一个平面去拟合当前的局部曲面，通常情况下，二次曲面的拟合会比平面更好，所以牛顿法选择的下降路径会更符合真实的最优下降路径。

从本质上去看，牛顿法是二阶收敛，梯度下降是一阶收敛，所以牛顿法收敛更快。比如你想找一条最短的路径走到一个盆地的最底部，梯度下降法每次只从你当前所处位置选一个坡度最大的方向走一步，牛顿法在选择方向时，不仅会考虑坡度是否够大，还会考虑你走了一步之后，坡度是否会变得更大。所以，可以说牛顿法比梯度下降法看得更远一点，能更快地走到最底部。也就是说梯度下降法更贪心，只考虑了眼前，反而容易走出锯齿形状走了弯路；而牛顿法目光更加长远，所以少走弯路。

有人会问了，牛顿法既然那么好，为啥还有后续的高斯牛顿法、LM法？牛顿法肯定有什么缺点吧？

是的，牛顿法确实有比较明显的缺点。前面推导过程，可以看到：牛顿法中包含了Hessian 矩阵的计算。而在高维度下计算Hessian 矩阵需要消耗很大的计算量，很多时候甚至无法计算。

下面介绍高斯牛顿法，看看它是怎么改进牛顿法这个缺点的。

高斯牛顿法

高斯牛顿（Gauss-Newton）法是对牛顿法的一种改进，它用雅克比矩阵的乘积近似代替牛顿法中的二阶Hessian 矩阵，从而省略了求二阶Hessian 矩阵的计算。下面来看看高斯牛顿法是怎么一步步推导来的。

牛顿法中我们是将目标函数 f(x+△x)^2 进行泰勒展开，而在高斯牛顿法中，我们对 f(x+△x) 进行一阶泰勒展开，如下：

前面我们说过，我们要确定一个步长，使得目标函数

达到最小，将一阶泰勒展开代入，问题转化为如下最小二乘问题：

展开后可得：

对△x求导并令导数为0，可得：

则有：

其中我们把J^TJ作为牛顿法中Hessian矩阵的近似，从而用求一阶雅克比矩阵代替了直接求二阶Hessian矩阵的过程。上述就是高斯牛顿法中步长的推导过程。

这个结果完美吗？No!

我们知道牛顿法中，要求Hessian矩阵是可逆的并且正定。但在高斯牛顿法中，用来近似Hessian矩阵的J^TJ可能是奇异矩阵或者病态的，此时会导致稳定性很差，算法不收敛。

另外一个不可忽视的问题是，由于前面我们采用二阶泰勒展开来进行的推导，而泰勒展开只是在一个较小的范围内的近似，因此如果高斯牛顿法计算得到的步长较大的话，上述的近似将不再准确，也会导致算法不收敛。

肿么办？LM算法可以修正上述问题。

LM法

列文伯格-马夸尔特Levenberg-Marquardt（LM）法在一定程度上修正了高斯牛顿法的缺点，因此它比高斯牛顿法更加鲁棒，不过这是以牺牲一定的收敛速度为代价的--它的收敛速度比高斯牛顿法慢。

下面来看看LM算法到底怎么修正高斯牛顿法的缺点的。

LM算法中定义的步长为：

其中I是单位矩阵，u是一个非负数。如果 u 取值较大时，uI 占主要地位，此时的LM算法更接近一阶梯度下降法，说明此时距离最终解还比较远，用一阶近似更合适。反之，如果 u 取值较小时，H 占主要地位，说明此时距离最终解距离较近，用二阶近似模型比较合适，可以避免梯度下降的“震荡”，容易快速收敛到极值点。因此参数 u 不仅影响到迭代的方向还影响到迭代步长的大小。

设x初值为x0，根据经验可以设置u的初值u0为：