区间估计 and t分布
一、点估计量
点估计量是通过最具代表性的样本，对总体参数给出的最佳估计。点估计量是有价值的，但总会存在误差。
二、置信区间
让总体参数介于a和b之间，使得该区间包含总体参数的概率为p。即：P(a<参数<b) = p
我们用(a,b)表示这个区间，(a,b)称为置信区间，p称为置信水平。
那么如何求总体参数的置信区间呢？
三、求解置信区间的四步骤
- 选择总体统计量（用于构建置信区间）
- 求出其抽样分布
- 决定置信水平
- 求出置信区间上下限
step 1 选择总体统计量
选择用于构建置信区间的统计量，取决于要解决的实际问题，通常是总体均值和比例。
实例：某公司需要为口香糖口味持续时间的均值构建置信区间，于是需要为总体均值𝓊构建置信区间，已知n=100, =25,
= 62.7。
step 2 求的所选统计量的抽样分布
需要知道所选统计量的抽样分布，期望方差及分布情况，代入除所选统计量外已知参数。
实例：样本均值抽样分布 E(
) = 𝓊 Var() = /n，为求出𝓊的置信区间，代入总体方差数值
和样本大小n，然后利用
的分布求出置信区间。
若不知道总体方差，可通过点估计量估计，
=
。最后需要明确
分布情况，这里假定X~N(𝓊，)，那么
也符合正态分布。
step 3 决定置信水平
置信水平越高，区间越宽，置信区间包含总体统计量的几率越大，但把置信区间弄得太宽的问题会导致置信区间失去意义。
实例：选取置信水平为95%。
step 4 求出置信区间上下限
由于符合正态分布，所以我们可以利用正态分布求置信区间，算出标准分，查询标准正态分布概率表，得出结果。
实例：已知~N(𝓊，0.25)
则 ，其中Z~N(0,1) 。然后需要利用标准正态分布表求出Za和Zb，其中P(Z<Za) = 0.025且P(Z>Zb) = 0.0255，Za = -1.96，Zb = 1.96。
所以，-1.96<(-𝓊)/0.5<1.96，-0.98<𝓊<+0.98, 取 = 62.7,置信区间为(61.72,63.68)。
结论：(61.72,63.68)中包含口味持续时间总体均值的几率为95%。
四、置信区间简便算法
| 总体统计量 | 总体分布 | 已知条件 | 置信区间 |
| 𝓊（总体均值） | 正态 |
n可大可小
|
（ |
| 𝓊 | 非正态 |
n很大（至少30）
|
（ |
| 𝓊 | 正态或非正态 |
n很大（至少30）
|
( |
| p（总体比例） | 二项 |
n很大 Ps为样本比例 qs= 1 - Ps |
( |
置信区间：统计量+-（误差范围）。误差范围 = c * （统计量标准差）。c值通过置信水平得到，当置信水平为95%时，c = 1.96。
五、 t分布
上述情况中，样本统计量（均值和比例）服从正态分布，但并非任何情况都能用正态分布。
当总体X符合正态分布时，一定符合正态分布吗？
答案是不一定，当总体分布为正态分布，但样本量小且未知时，
不符合正态分布。实际上，在此情况下，符合t分布。
t分布外形与正态分布相似，T~t(v) 则T符合t分布且自由度为v,v = n-1,n为样本大小。
t分布使用方法与正态分布相似，计算标准分，先减去均值然后除以标准差。
t分布的标准分： ,其中
=
。
t分布置信区间：（，
）,其中t通过置信水平和t分布表确定。
对于总体均值估计，样本n很大时，样本均值分布服从正态分布。
当n不大时，若总体服从正态分布且总体方差已知，样本均值分布服从正态分布。
当n不大时，若总体服从正态分布且总体方差未知，样本均值分布服从t分布。
2020.05.14 15：20
