矩阵乘法&矩阵快速幂&矩阵快速幂解决线性递推式
矩阵乘法,顾名思义矩阵与矩阵相乘,
两矩阵可相乘的前提:第一个矩阵的行与第二个矩阵的列相等
相乘原则:
a b * A B = a*A+b*C a*c+b*D
c d C D = c*A+d*C c*A+d*C
上代码
1 struct matrix 2 { 3 ll a[maxn][maxn]; 4 }; 5 matrix matrix_mul(matrix x,matrix y) 6 { 7 matrix temp; 8 for(int i=1;i<=n;i++) 9 for(int j=1;j<=n;j++) 10 { 11 temp.a[i][j]=0; 12 for(int k=1;k<=n;k++) 13 { 14 temp.a[i][j]+=(x.a[i][k]*y.a[k][j])%mod; 15 temp.a[i][j]%=mod; 16 } 17 } 18 return temp; 19 }
∵矩阵乘法满足结合律(不满足交换律)
∴可用快速幂
矩阵快速幂与一般快速幂极其相似,只是把两个数相乘改成了两个矩阵相乘(用个相乘函数即可),所以完全可以按照快速幂的写法来写;
matrix matrix_pow(matrix a,ll b) { matrix v; for(int i=1;i<=n;i++) v.a[i][i]=1; //初始化,就和把数字初始化成 1 一样,矩阵这样初始化 while(b>0) { if(b&1) v=matrix_mul(v,a); a=matrix_mul(a,a); b=b>>1; } return v; }
※矩阵快速幂解决线性递推式
举个栗子(我有一盆栗子随便举) 斐波那契序列 (F[n]=F[n-1]+F[n-2])
很多童鞋知道矩阵快速幂可解决斐波那契序列,但并不知道原因
事实上矩阵快速幂可以解决绝大多数线性递推式(不敢说所有=-=,万一呢)
对于斐波那契,递推矩阵(自己起的=-=)为
1 1
0 1
具体推导初始矩阵过程如下(方法不唯一):(以斐波那契额为例)
我们要做的是使F[n-1]+F[n-2]乘某个矩阵得出第一项为F[n](个人理解的=-=)
则 F[n] = a b * F[n-1]
F[n-1] c d F[n-2]
∵F[n]=F[n-1]+F[n-2]
则可得 F[n-1]+F[n-2] = a b * F[n-1]
F[n-1] c d F[n-2]
设F[n-1]为A,F[n-2]为B
则为 A+B = a b * A = a*A+b*B (将右边矩阵乘开了)
B c d * B c*A+d*B
则可以看到 a*A+b*B=A+B
c*A+d*B=B
很容易看出a=1,b=1,c=0,d=1
所以递推矩阵为
1 1
0 1
普通斐波那契F[1]=1,F[2]=1;
那为什么可以用矩阵快速幂呢?
设上边的0,1为A,斐波那契初始矩阵为B,当N》=2的时候我们可以求斐波那契
比如斐波那契的3项就应该是
A*A*B即可(因为N大于等于2所以要把求得项数减去1然后再乘)
类似的我们可以求斐波那契的第N项
即A*A*A*......*A*B一共乘N-1项。
这个时候我们发现都是乘法耶~那我们就快速幂把,好~快速幂所以我们就完成了快速幂。
所以每一n-1幂所对应的F[n]就是答案,
但F[1]与F[2]为其他数呢,就不能只是这样做了
∵矩阵乘法满足交换律
∴现将递推矩阵进行n次幂运算
再使其乘 F[1] 矩阵,即可得出答案=-=
F[2]